Day 21 : 動力系統的圖解 -- 向量場圖

第 11 屆 iThome 鐵人賽

DAY 21

AI & Data

連接數學與現實世界的橋樑 -- 數學建模系列第 21 篇

11th鐵人賽向量場圖

spidyjames

2019-09-22 23:57:28

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今天就來介紹如何透過圖像的方式來描述動力系統在平衡點附近的性質，並用該訊息與向量場圖一起獲得在整個狀態空間上動態行為的圖形描述。

範例

考慮下圖的電路圖，

其中 $v_c$ 表示電容上的電壓， $i_R$ 表示經過電阻的電流，而 $f(x)$ 為電阻的 $v-i$ 特徵。給定 $L = 1$ , $https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=C%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D$ , $f(x) = x^3 + 4x$ ，確定這個電路隨時間變化的行為。

提出問題
根據克希荷夫電流定律，進入一個節點的電流和等於流出的電流和；克希荷夫電壓定律，閉路上的所有電壓之合為0，可以寫出我的們的假設
變量:
$v_c =$ 電容上的電壓
$i_c =$ 過電容的電流
$v_R =$ 電阻上的電壓
$i_R =$ 過電阻的電流
$v_L =$ 電感上的電壓
$i_L =$ 過電感的電流
假設:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=C%20%5Cfrac%7Bdv_c%7D%7Bdt%7D%20%3D%20i_c$
$v_R = f(i_R)$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=L%20%5Cfrac%7Bdi_L%7D%7Bdt%7D%20%3D%20v_L$
$i_c = i_R = i_L$
$v_c + v_R + v_L = 0$
$L = 1$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=C%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D$
$f(x) = x^3 + 4x$
目標:
確定六個變量隨時間變化的行為
選擇建模方法
利用連續時間動力系統為此問題建模，並畫出向量場圖。誠如先前討論的，假設有一個動力系統在平衡點的鄰域內有一階連續偏導數，而 $A$ 是在平衡點的一階偏導數矩陣。當 $x$ 在平衡點附近時，該動力系統的行為會與線性系統相似，即 $x' = F(x) \approx A(x- x_0)$ ，對此我們可以透過兩者的向量場圖來進行驗證。
這在我們要介紹一個新名詞，同胚(homeomorphism)，定義為具有連續逆映射的連續函數， $G : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$
如果 $A$ 的特徵值的實部都不為0，則存在一個同胚 $G$ ，它把系統 $x' = Ax$ 的向量場圖映射為 $x' = F(x)$ 的向量場圖，並滿足 $G(0) = x_0$ 。這也就是說，除了某些扭曲外， $x' = F(x)$ 在平衡點 $x_0$ 附近的向量場看起來像線性系統的向量場。它意味著，我們可以利用線性逼近的方式，來得到非線性動力系統在平衡點附近的行為。
推導模型的數學表達式
設 $x_1 = i_R = i_L = i_c$ , $x_2 = v_c$ ，則可得
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cfrac%7Bx_%7B2%7D'%7D%7B3%7D%20%3D%20x_1$
$v_R = x_{1}^3 + 4 x_1$
$x_{1}' = v_L$
$x_2 + v_R + v_L = 0$
整理後得到
$x_{1}' = f_{1}(x_1, x_2) = -x_{1}^3 - 4 x_1 - x_2$
$x_{2}' = f_{2}(x_1, x_2) = 3 x_1$
求解模型
從上述的方程組可得到向量場圖如下，

從圖中可知平衡點為 $(0 , 0)$ ，但難以判定是否穩定，因此對方程組求偏導數，得到
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f_1%7D%7B%5Cpartial%20x_1%7D%20%3D%20-3%20x_%7B1%7D%5E2%20-%204$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f_1%7D%7B%5Cpartial%20x_2%7D%20%3D%20-1$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f_2%7D%7B%5Cpartial%20x_1%7D%20%3D%203$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f_2%7D%7B%5Cpartial%20x_2%7D%20%3D%200$
計算偏導數矩陣得， $A = \left ( \begin{array} {ccc} -4 & -1 \\ 3 & 0 \end{array}\right)$
求奇特徵值， $\lambda^2 + 4 \lambda + 3 =0$ ，得 $\lambda = -3 , -1$
因為兩者的實部都是負的，所以平衡態是穩定的。
進一步求其特徵向量，當 $\lambda = -3$ ，對應的特徵向量為 $\left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 1 \end{array}\right) e^{-3t}$
當 $\lambda = -1$ ，對應的特徵向量為 $\left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 3 \end{array}\right) e^{-t}$
則線性系統的通解可以寫成，
$\left( \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) = c_1 \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 1 \end{array}\right) e^{-3t} + c_2 \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 3 \end{array}\right) e^{-t}$ ，其中 $c_1, c_2$ 為任意實常數。根據此通解畫出來的向量場如下，

綜合非線性與線性的向量場圖得到原非線性系統的完整向量場圖如下，
表達分析結果
不論電路的初始狀態如何，電流與電容上的壓降最終都會趨近於0。