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DAY 23
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連接數學與現實世界的橋樑 -- 數學建模系列 第 23

Day 23 : 尤拉方法(Euler method)

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動力系統建模簡單來說可以分成兩個部分,1)將問題以微分方程來表示,2)求解微分方程。第一部份需要對問題有一定程度的背景知識,例如模擬自駕車的行走,需要對運動學有一定的了解,當有了數學表達式,剩下的就是求解了。然而,並非所有的問題都可以求出解,所以衍生了很多理論與技巧,來達到這個目的。因此,我們今天介紹一個最簡單能夠達到所需精確度的求解微分方程的方法,尤拉方法。

考慮一個連續時間的動力系統
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x'%20%3D%20F(x)
其中https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x%20%3D%20(x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n)https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=F%3D(%20f_1%2C%20%5Cdots%2C%20f_n),初始條件為https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x(t_0)%20%3D%20x_0
從初始條件開始,利用https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x(t%2Bh)%20-%20x(t)%20%5Capprox%20hF(x(t))慢慢逼近方程式的解

演算法

變量:
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=t(n)%20%3D%20n步後的時間
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7B1%7D(n)%20%3D%20在時刻https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=t(n)的第1個狀態變量
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7B2%7D(n)%20%3D%20在時刻https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=t(n)的第2個狀態變量
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=N%20%3D%20步數
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=T%20%3D%20模擬停止的時間
輸入:
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=t(0)%2C%20x_%7B1%7D(0)%2C%20x_%7B2%7D(0)%2C%20N%2C%20T
Pseudo code
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=h%20%5Cleftarrow%20(T%20-%20t(0))%20%2F%20N
https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190924/20119600ffeUsTDDit.jpg
輸出:
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7B1%7D(1)%2C%20%5Cdots%2C%20x_%7B1%7D(N)
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7B2%7D(1)%2C%20%5Cdots%2C%20x_%7B2%7D(N)

範例

有一微分方程組
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7B1%7D'%20%3D%20x_1%20-%20x_%7B1%7D%5E3%20-%20x_2
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7B2%7D'%20%3D%20x_1
給定兩組初始值,觀察解的行為(如下二圖),可以發現解都逼近同一條繞著原點的封閉軌跡,此軌跡被稱為極限環
https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190924/20119600NVMmB42XRn.jpg


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