Day 23 : 尤拉方法(Euler method)

第 11 屆 iThome 鐵人賽

DAY 23

AI & Data

連接數學與現實世界的橋樑 -- 數學建模系列第 23 篇

11th鐵人賽尤拉方法

spidyjames

2019-09-24 23:29:30

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動力系統建模簡單來說可以分成兩個部分，1)將問題以微分方程來表示，2)求解微分方程。第一部份需要對問題有一定程度的背景知識，例如模擬自駕車的行走，需要對運動學有一定的了解，當有了數學表達式，剩下的就是求解了。然而，並非所有的問題都可以求出解，所以衍生了很多理論與技巧，來達到這個目的。因此，我們今天介紹一個最簡單能夠達到所需精確度的求解微分方程的方法，尤拉方法。

考慮一個連續時間的動力系統
$x' = F(x)$
其中 $x = (x_1, \dots, x_n)$ 且 $F=( f_1, \dots, f_n)$ ，初始條件為 $x(t_0) = x_0$ 。
從初始條件開始，利用 $x(t+h) - x(t) \approx hF(x(t))$ 慢慢逼近方程式的解

演算法

變量:
$t(n) = n$ 步後的時間
$x_{1}(n) =$ 在時刻 $t(n)$ 的第1個狀態變量
$x_{2}(n) =$ 在時刻 $t(n)$ 的第2個狀態變量
$N =$ 步數
$T =$ 模擬停止的時間
輸入:
$t(0), x_{1}(0), x_{2}(0), N, T$
Pseudo code
$h \leftarrow (T - t(0)) / N$

輸出:
$x_{1}(1), \dots, x_{1}(N)$
$x_{2}(1), \dots, x_{2}(N)$