iT邦幫忙

第 11 屆 iThome 鐵人賽

DAY 24
0

從今天起我們將邁向數學建模的第三部分,機率模型。許多現實生活問題都包含著不確定因素,因此便引入了隨機變量來描述這些不確定性,利用機率論的方法可使得數學建模更加實用。

統計學簡介

假設https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=X是獨立的隨機變量,若https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=X離散的情況,則期望值或平均值https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=E(X)%20%3D%20%5Csum%20x_k%20Pr%20%5Cleft%7BX%20%3D%20x_k%20%5Cright%7D%20
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=X連續,帶有密度https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=f(x),則期望值https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=E(X)%20%3D%20%5Cint%20xf(x)%20dx
變異數的定義為,變數與平均數差異的程度,
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=V(X)%20%3D%20E(X%20-%20E(X))%5E2
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=X離散,則為https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=V(X)%20%3D%20%5Csum%20(x_k%20-%20E(X))%5E2%20Pr%5Cleft%7BX%3D%20x_k%20%5Cright%7D
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=X連續,則為https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=V(X)%20%3D%20%5Cint%20(x_k%20-%20E(X))%5E2%20f(x)dx
中央極限定理,當https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n%20%5Crightarrow%20%5Cinfty時,https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=X_1%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20X_n的分配會趨近於常態分配。尤其是如果https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cmu%20%3D%20E(X), https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Csigma%5E2%20%3D%20V(X),則對所有實數https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=t
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=lim_%7Bn%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%20Pr%20%5Cleft%7B%20%5Cfrac%7BX_1%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20X_n%20-%20n%5Cmu%7D%7B%5Csigma%20%5Csqrt%7Bn%7D%7D%20%5Cle%20t%20%20%5Cright%7D%20%5Crightarrow%20%5CPhi%20(t)
其中https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CPhi%20(t)標準常態分配,其密度函數對所有https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=xhttps://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=g(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%20%5Cpi%7D%7D%20e%5E%7B-%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%7D;對所有的https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=thttps://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CPhi%20(t)%20%3D%20%5Cint_%7B-%20%5Cinfty%7D%5Et%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%20%7B2%5Cpi%7D%7D%20e%5E%7B%5Cfrac%7B-x_2%7D%7B2%7D%7D
標準常態分配圖形如下,
https://ithelp.ithome.com.tw/upload/images/20190926/20119600mJVF4ohZKl.jpg
曲線下面積約為1,橘色區域約為0.95,藍色為0.68。
橘色區域範圍可表示為https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=-1%20%5Cle%20%5Cfrac%7BX_1%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20X_n%20-%20n%5Cmu%7D%7B%5Csigma%20%5Csqrt%7Bn%7D%7D%20%5Cle%201
橘色區域範圍為https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=-2%20%5Cle%20%5Cfrac%7BX_1%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20X_n%20-%20n%5Cmu%7D%7B%5Csigma%20%5Csqrt%7Bn%7D%7D%20%5Cle%202
因此我們可以說有68%的把握https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=X_1%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20X_n會落在https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n%5Cmu%20-%20%5Csigma%20%5Csqrt%7Bn%7D%20%5Cle%20X_1%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20X_n%20%5Cle%20n%5Cmu%20%2B%20%5Csigma%20%5Csqrt%7Bn%7D內;
有95%會落在https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n%5Cmu%20-%202%5Csigma%20%5Csqrt%7Bn%7D%20%5Cle%20X_1%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20X_n%20%5Cle%20n%5Cmu%20%2B%202%5Csigma%20%5Csqrt%7Bn%7D,這就是區間估計的概念。

範例

過去一年內,一個社區的消防中心平均每月會接到171通火災電話,基於這資料房屋的火災警報率被估計為171月/次,當下個月收到通報只有153次,則可以說火災率減少了還是只是一個隨機波動。

  1. 提出問題
    變量:
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Clambda%20%3D%20通報的房屋火災率(每月)
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=X_n%20%3D%20https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n-1次與第https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=n次火災之間的時間(月)
    假設:
    房屋火災以速率https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Clambda隨機發生,亦即https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=X_1%2C%20X_2%2C%20%5Cdots是獨立且每個https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=X_n為參數https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Clambda的指數分配
    目的:
    給定https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Clambda%20%3D%20171,確定153次火災警報的機率有多大
  2. 確定建模方法
    根據問題的特性,使用區間估計進行處理
  3. 推導模型的數學表達式
    假設火災警報間的時間https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=X_n服從指數分配
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=f(x)%20%3D%20%5Clambda%20e%5E%7B-%5Clambda%20x%7D
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cmu%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%7D
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Csigma%5E2%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%5E2%7D
  4. 求解模型
    給定95%的信賴區間,將已條件帶入,可得https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5Cfrac%7B153%7D%7B171%7D%20-%20%5Cfrac%7B2%20%5Csqrt%7B153%7D%7D%7B171%7D%20%5Cle%20X_1%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20X_n%20%5Cle%20%5Cfrac%7B153%7D%7B171%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B2%20%5Csqrt%7B153%7D%7D%7B171%7D
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%5CRightarrow%200.75%20%5Cle%20X_1%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20X_n%20%5Cle%201.04
  5. 表達分析結果
    斷言火警降低是不充分的,接到的電話數變少比較是隨機波動。

上一篇
Day 23 : 尤拉方法(Euler method)
下一篇
Day 25 : 機率分配
系列文
連接數學與現實世界的橋樑 -- 數學建模30
圖片
  直播研討會
圖片
{{ item.channelVendor }} {{ item.webinarstarted }} |
{{ formatDate(item.duration) }}
直播中

尚未有邦友留言

立即登入留言