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描述性統計與推論性統計

1. 描述性統計（Descriptive Statistics）

   描述性統計用於總結和描述數據的基本特徵。它不會進行推斷，而是關注數據的模式和趨勢，常見指標包括：

   • 均值（Mean）：數據集的平均值。
     
   • 中位數（Median）：排序後數據集中位的位置。
   • 標準差（Standard Deviation）：數據點與均值之間的平均偏差。
     
   • 變異數（Variance）：標準差的平方，表示數據分佈的分散程度。
     

2. 推論性統計（Inferential Statistics）

   推論性統計通過從樣本數據中得出的結論來推測母體特徵。這是機器學習的核心方法之一，因為我們常常從有限的數據中訓練模型，並希望它能對未來數據進行預測。

   • 假設檢驗（Hypothesis Testing）
   • 置信區間（Confidence Interval）
   • p 值（p-value）：檢驗結果是否顯著的指標

概率論與隨機變量

機器學習中的許多算法都依賴於概率論。理解隨機事件和隨機變量是理解模型預測的重點。

隨機變量（Random Variables）

隨機變量是與隨機實驗結果相關聯的變量，表示了可能結果的數值。

• 離散隨機變量：可能結果是離散的，比如擲骰子。
• 連續隨機變量：可能結果是連續的，比如測量某人的身高。

概率分佈（Probability Distribution）

• 離散分佈：如二項分佈、泊松分佈。
• 連續分佈：如正態分佈、均勻分佈。

正態分佈（Normal Distribution）

許多自然現象的近似模型，其密度函數為：

其中 µ 是均值，σ 是標準差。

假設檢驗與置信區間

假設檢驗（Hypothesis Testing）

假設檢驗是統計學中的一個推斷工具，用來檢驗關於母體的假設是否成立。檢驗過程包括提出零假設 H_0（通常為無效果假設）和備擇假設 H_1，並根據數據決定是否拒絕 H_0。

1. 零假設（Null Hypothesis）：H_0 通常表示無差異或無效的狀況。
2. 備擇假設（Alternative Hypothesis）：H_1 表示我們期望檢驗的效果
3. p 值（p-value）：p 值是衡量觀察到的結果在零假設下出現的概率，當 p 值小於某個顯著性水平（如 0.05）時，我們拒絕零假設

置信區間（Confidence Interval）

置信區間用來估計一個參數的區間範圍。假設我們估計某個參數的均值µ，置信區間的表達式為：

回歸分析與機器學習中的應用

在統計學中，回歸分析用於建模變量之間的關係。線性回歸是最常用的統計模型，通過找到數據點的最佳擬合直線來預測目標變量。

線性回歸（Linear Regression）

線性回歸的模型表達式為：

最小二乘法（Least Squares Method）

最小二乘法是一種求解回歸問題的常用方法，其目標是最小化觀察值與預測值之間的平方誤差和：

貝葉斯推理與機器學習中的應用

貝葉斯推理是一種更新先驗知識的工具，根據新數據來調整我們對事物的理解。這在分類問題（如 Naive Bayes 分類器）中應用廣泛。

(´・ω・)つ

回歸分析是監督學習中的重要技術，假設檢驗則在模型評估中扮演著關鍵角色。統計學還有助於模型的泛化，避免過度擬合，並提供如置信區間、p 值等指標來評估模型的性能。