前四天，我們已經會用向量描述量子狀態、用量子閘改變振幅，也能從量測結果整理機率。今天把這些步驟接起來：給程式一個普通數字，它如何經過量子電路，再回到一般電腦可以比較與保存的數值？

先用 x = 0.25 當例子。程式把它轉成角度 π/4，依角度執行電路，再將一批量測結果換算成分數。理想分數約是 0.7071；有限次量測可能得到 0.70 或其他接近的值。我們會沿路算出這個答案，並檢查差異來自資料轉換、電路、讀取方式，還是抽樣波動。

這是量子機器學習中從輸入到輸出的前向計算（forward pass）。本日先把這條路徑驗證清楚；角度由輸入決定，還沒有從答案學習參數，也沒有訓練完成的分類器。

This chapter follows an ordinary number through data encoding, a quantum circuit, measurement counts, and numerical post-processing. A worked example connects each stage to the known function cos(πx), making both implementation errors and finite-sampling effects easier to identify. The implementation verifies a fixed forward pass; it does not train parameters or evaluate generalization. The article, notebook, and saved results provide a traceable path from equations to outputs.

1. 先畫出一筆資料走過的路

Day1 用花瓣尺寸說明模型如何預測種類。真正的分類工作可能有很多輸入，也需要已知種類作為答案。今天先縮小問題，只接收一個介於 0 與 1 的數字，輸出一個介於 −1 與 +1 的分數。

選擇這個小例子的原因，是每一步都有能手算的答案。若完整程式的輸出不對，就能回查哪一段開始偏離。

編碼就是把輸入轉成電路能使用的操作設定；後處理則是把量測結果整理成任務需要的數值。這兩段與誤差計算，都由一般程式完成。量子電路只負責流程中的一部分。

本日用 NumPy 與 CUDA-Q 在一般電腦上模擬這段量子運算。NumPy 是數值計算套件；CUDA-Q 則讓我們以量子位元與操作來描述電路，再指定由哪個模擬器執行。

2. 定義輸入：0.25 在這裡代表什麼？

本日資料由程式直接產生，沒有讀取花卉資料集：

0、0.125、0.25、0.375、0.5、0.625、0.75、0.875、1

這九個數字在 0 到 1 之間等距排列，程式使用 np.linspace(0, 1, 9) 產生。它們是用來檢查流程的輸入點，並不是訓練集或測試集。

如果後續改用真實花瓣長度，就要先說明如何把公分轉成這個範圍。例如何時把某個長度映射到 0、另一個長度映射到 1，以及新資料超出範圍時怎麼處理，都是資料處理的一部分。

本日採取明確規則：輸入必須是有限數值，而且介於 0 與 1，包含兩個端點。負數、大於 1、無限大或無效數值都回報錯誤，不會悄悄改成最接近的邊界。

這種事先約定可接受條件的做法，稱為輸入契約。如果把 1.2 與 5 都截成 1，雖然程式可能繼續執行，卻會把不同資料變成相同輸入；是否允許這種資訊損失，需要由任務決定。

真實資料若需要從樣本估計縮放範圍，應只用訓練資料決定規則，再套用到驗證與測試資料。否則評估資料的資訊就可能提前影響模型流程。

3. 把輸入變成角度，但先別把它叫作學到的參數

本日的編碼規則很簡單：

θ = πx

θ 讀作 theta，是角度，單位為弧度；π 代表半圈。輸入 x 從 0 走到 1，角度便從 0 走到 π。

pipeline.py 中的 encode 函式負責檢查並轉換輸入。以下是可獨立執行的簡化示範：

import numpy as np


def encode(value: float) -> float:
    if not np.isfinite(value) or not 0 <= value <= 1:
        raise ValueError("input must be finite and in [0, 1]")
    return float(np.pi * value)


print(f"theta = {encode(0.25):.6f} radians")

輸出約為 theta = 0.785398 radians，也就是 π/4。np.isfinite 用來排除無限大與無效數值。

這個角度會隨資料改變，但不是從資料「學出來」的。程式沒有比較答案後再修正 θ = πx，也沒有另一組待調整的權重。函式有輸入參數，與模型有可訓練參數，是兩件不同的事。

4. 從角度算出電路狀態

先準備兩個位元都為 0，記作 |00⟩。左邊是 q0，右邊是 q1，沿用 Day4 的順序。接著對 q0 做 RY，再以 q0 控制 q1 的翻轉：

q0：|0⟩ ──RY(πx)──●──量測
                  │
q1：|0⟩ ──────────X──量測

RY 是 Day3 的可調旋轉閘，CNOT 則是 Day4 的受控反相閘。把兩章的規則接起來：

初始：|00⟩

RY 之後：cos(πx/2)|00⟩ + sin(πx/2)|10⟩

CNOT 之後：cos(πx/2)|00⟩ + sin(πx/2)|11⟩

CNOT 保留 00，把 10 變成 11。因此，只有這兩種結果有非零振幅。

代入 x = 0.25，半角為 π/8，得到：

00 的振幅 = cos(π/8) ≈ 0.92388
11 的振幅 = sin(π/8) ≈ 0.38268

P(00) ≈ 0.85355
P(11) ≈ 0.14645
P(01) = P(10) = 0

這裡仍要先算振幅，再取絕對值平方得到機率。也可以選三個容易核對的輸入，檢查電路是否接對：

CUDA-Q 的電路定義在 cudaq_pipeline.py。下面節錄其操作區塊，需在匯入 CUDA-Q 的模組中使用：

import cudaq


@cudaq.kernel
def encoded_pair(theta: float, measure: bool):
    q = cudaq.qvector(2)
    ry(theta, q[0])
    x.ctrl(q[0], q[1])
    if measure:
        mz(q[0])
        mz(q[1])

@cudaq.kernel 標記描述量子操作的程式區塊。measure=True 時執行量測，用於實際產生本章分數；False 則供模擬器取得完整狀態以核對數值。CUDA-Q 的 sample 取得計數，get_state 取得模擬狀態資訊，兩者提供的證據不同。CUDA-Q 執行方式文件

5. 量測計數如何變成一個分數？

電路給我們的是一批位元結果，例如某次出現 00，另一次出現 11。要把它們變成數值，還需要選擇記分規則。

本日只看第一個位元 q0：量到 0 記 +1，量到 1 記 −1。四種結果的分數如下：

假設 n00 表示 00 出現幾次，其餘同理，平均分數便是：

prediction = (n00 + n01 − n10 − n11) / shots

shots 是總次數。依理論機率計算的這種平均叫作 q0 的 Z 期望值，記為 ⟨Z0⟩；用有限次數得到的平均，則是它的估計值。分數範圍是 −1 到 +1，不是 0 到 1 的機率。

回到 x = 0.25。假設 1,000 次得到 850 個 00、150 個 11，這組教學用假設計數的分數為：

prediction = (850 − 150) / 1,000 = 0.70

若用理論機率計算，則約為 0.85355 − 0.14645 = 0.70711。兩者的差距可以來自有限次抽樣，不能只因沒有剛好相等就認定電路錯誤。

程式中的 prediction_from_counts 會檢查結果標籤、非負整數計數，以及總次數是否大於零。即使本日理想電路只有 00、11，公式仍保留 01、10，方便正確處理其他電路或不同條件下的計數。

為什麼不能沿用 Day4 的關聯值？

Day4 將「兩個位元相同」記 +1、「不同」記 −1，計算的是：

兩位元關聯值 = P(00) + P(11) − P(01) − P(10)

本日電路只產生相同結果，所以這個關聯值一直是 1。它無法顯示 x 從 0 到 1 時，00 與 11 的比例如何改變。

同一份計數，換一種記分方式，就可能得到完全不同的輸出。選擇讀取什麼量，通常稱為選擇可觀測量；它是模型設計的一部分，不是量測完隨便挑一個看起來合理的數字。

6. 理想答案為什麼是 cos(πx)？

依前面的電路狀態：

P(q0 = 0) = cos²(πx/2)
P(q0 = 1) = sin²(πx/2)

理想分數 = cos²(πx/2) − sin²(πx/2)
         = cos(πx)

最後一步使用三角函數的倍角關係 cos²(a) − sin²(a) = cos(2a)。能直接從公式算出的答案稱為解析答案，本日把它當成檢查流程的參考值。

x = 0、0.5、1 的理想分數依序為 +1、0、−1；x = 0.25 則是 cos(π/4) = 1/√2 ≈ 0.7071。

這裡的目標答案不是另外收集的花卉種類，也不是未知函數。我們事先知道它正好是這段電路的理想輸出，因此是在檢查「程式與抽樣是否符合已知規則」，不能解讀成模型從資料發現了這條規則。

第二個量子位元是這項輸出的必要條件嗎？

移除 CNOT，只保留 q0 的 RY，q0 量到 0、1 的機率仍是相同的 cos²(πx/2) 與 sin²(πx/2)。因此本日的 ⟨Z0⟩ 不變。

CNOT 讓兩位元形成共同狀態，並銜接 Day4，但對目前這個輸出沒有必要性。是否需要某個元件，可以透過「移除它，固定其他條件，看觀察結果是否改變」來檢查。這比只看電路有幾個量子位元，更能說明設計的作用。

7. 用平方誤差衡量差距，先確認差距代表什麼

假設 x = 0.25 的分數是前面的 0.70，理想值約是 0.70710678，這筆誤差便是：

差值 = 0.70 − 0.70710678 ≈ −0.00710678
平方誤差 ≈ 0.00005051

平方讓正負誤差都變成非負數，不會在相加時互相抵消。將多筆平方誤差加總再除以筆數，得到平均平方誤差（MSE）。

MSE 只是一個比較數值的規則。它在訓練中可以當作損失函數，指引參數調整；但本日沒有調參數，所以它衡量的是固定流程的輸出離已知答案有多遠，主要反映有限次抽樣誤差，而不是模型學習不足。

能先估計誤差大概多大嗎？

可以。每次記分只有 +1 或 −1，因此每次分數的平方都是 1。若平均分數為 m = cos(πx)，單次分數的變異數就是 1 − m²；變異數描述圍繞平均值的平方波動大小。

將 N 次彼此獨立、條件相同的記分取平均，估計值的變異數為：

Var(prediction) = (1 − cos²(πx)) / N

本例的平均估計沒有系統性偏差，所以反覆重做時，對理想值的預期平方誤差也等於這個變異數。

這也說明「理想答案是 0」不代表每一批平均都剛好是 0。x = 0.5 正是抽樣波動最大的輸入。

對九個等距輸入，sin²(πx) 相加為 4，因此每筆 1,000 次時，平均預期平方誤差是：

4 / (9 × 1,000) = 4/9000 ≈ 0.00044444

增加抽樣次數能降低這項誤差，但它不會替模型學到新規則。若編碼或記分公式寫錯，多抽樣也不會自動修正這種錯誤。

8. 實驗怎麼執行，結果怎麼讀？

執行條件與環境

每個後端都使用相同的九個輸入，每筆抽樣 1,000 次，再用三組種子 42、43、44 重複，得到 27 筆結果。種子是控制程式隨機序列的起始設定。本程式再由重複種子與輸入編號產生各筆抽樣種子，實際值會保存在資料中，方便追溯。

三種後端分別是 NumPy 數值抽樣、CUDA-Q CPU 模擬 qpp-cpu、CUDA-Q GPU 模擬 nvidia。後端表示負責執行的程式或硬體；本章三者都是一般電腦上的模擬。

在專案根目錄沿用既有虛擬環境：

source .venv/bin/activate
python -m pip install -r requirements-day05.txt
python -m pip check

若尚未建立環境，先用 python3.12 -m venv .venv 建立專案套件資料夾。本日已記錄的組合是 NumPy 2.2.6、CUDA-Q 0.15.1，加上執行筆記本的套件；完整版本見 requirements-day05-lock.txt。這是既有驗證的版本，不代表最新安裝組合。

先執行一條完整流程

python articles/day05/pipeline.py --backend numpy
python articles/day05/pipeline.py --backend qpp-cpu

有可用的 NVIDIA GPU 環境時，再執行：

python articles/day05/pipeline.py --backend nvidia

資料寫入 results/day05/<backend>/，重跑相同後端會更新該目錄。如果想比較更多抽樣次數並另存結果：

python articles/day05/pipeline.py --backend qpp-cpu --shots 10000 --output-dir /tmp/day05-more-shots

predictions.csv 逐筆記錄輸入、角度、種子、shots、四種計數、目標、分數與平方誤差。summary.json 保存環境、電路、記分方式、MSE，以及每組種子的 MSE。CSV 是表格文字檔，JSON 則以欄位名稱保存結構化資訊。

保存結果支持什麼結論？

以下為 2026-09-06 保存的預設實驗，各後端 27 筆的平均平方誤差：

完整數據見 results/day05，歷史設備與驗證範圍見 ENVIRONMENT.md。

抽樣 MSE 與前面預估的 0.00044444 在相近尺度；三組種子的平均不必剛好等於期望值。CUDA-Q 這次比 NumPy 的 MSE 小，也不能據此認定它更準，因為它們以有限樣本估計相同理論值，抽樣序列可能不同。

固定輸出 0 的方法很弱，擊敗它不足以證明量子方法有優勢。本題已有直接計算 cos(πx) 的一般解，而且沒有抽樣誤差；這個對照正好界定本章的用途是流程驗證。

CPU 與 GPU 保存的計數相同，也不是所有環境都必須滿足的條件。耗時包含編譯與初始化，沒有控制暖機與系統負載，因此這份結果不能當成 GPU 加速評測。

9. 筆記本：把每一步的說明、程式與答案放在一起

Day5 筆記本 先回顧振幅、量測與貝爾態，再執行編碼、計數換分數，以及 NumPy／CUDA-Q CPU 的完整流程。每個文字段落後面都有可以執行的程式區塊，稱為儲存格。

在編輯器開啟它，選擇專案 .venv/bin/python 作為執行環境，再由第一格依序執行全部內容。這能避免只執行後半段，卻沿用先前留在記憶體裡的變數。

也可以透過專案腳本完整重跑：

python articles/day05/execute_notebook.py

execute_notebook.py 使用目前 Python 啟動暫時的 Jupyter 執行程序，遇到儲存格錯誤便停止，成功後更新筆記本輸出。這種將全部儲存格重新執行的方式，可檢查筆記本是否能從頭重現。nbclient 執行文件

Jupyter 的執行程序也稱為 kernel，但它和 CUDA-Q 描述量子操作的 quantum kernel 是不同概念。筆記本中的檔案保存範例使用暫存目錄；正式實驗資料由 pipeline.py 寫入結果目錄。

本章相關檔案可依下列問題查找：

程式直接重用 Day3 的旋轉閘與 Day4 的 CNOT 定義。這讓同一個操作只有一份主要實作，後續核對或修正時比較容易保持一致。

10. 如何檢查這條流程，而不只看最後 MSE？

先執行既有測試：

python -m unittest discover -s articles/day05 -p 'test_*.py' -v

在可用的 GPU 環境核對整合測試：

DAY05_TARGET=nvidia python -m unittest discover -s articles/day05 -p 'test_cudaq_pipeline.py' -v

測試要覆蓋不同責任。輸入端檢查非法數值會被拒絕；電路端對照解析振幅；後處理用包含 01、10 的非對稱計數檢查位元順序；保存端再核對每筆平方誤差與總體 MSE 是否一致。

例如，只看本日理想的 00、11 計數，即使把左右位元讀反也不容易發現。加入 01、10 測試，才會讓 q0 與 q1 的記分差異出現。好的測試需要能區分正確與錯誤實作的輸入。

如果結果異常，可以沿流程定位：

11. 距離「模型訓練」還缺哪一步？

現在的流程是：輸入決定角度，固定電路產生分數，再與已知公式比較。訓練則還需要一組獨立的可調權重、用來衡量任務誤差的損失函數，以及選擇如何更新權重的最佳化器。

本日：輸入 x → 固定的轉換與電路 → 分數 → 核對誤差

後續：輸入 x + 目前權重 → 分數 → 與答案比較
                                  ↓
                         更新權重，再次執行

要判斷模型能否處理沒見過的資料，還需要保留未參與訓練與設定選擇的資料，檢查泛化能力。本章九個已知輸入的函數核對，不能替代這個評估。

前五天累積的是一條可以追查的證據路徑：從狀態定義、操作推導，到量測計數、分數與保存指標。接下來加入訓練時，就能分辨變化來自模型參數、資料處理或量測波動，而不是只看一條誤差曲線猜原因。

12. 來源與下一篇

• CUDA-Q 執行方式：量測計數與模擬狀態資訊的用途。
• nbclient 筆記本執行文件：從頭執行儲存格與錯誤處理。
• 狀態與分數公式由 Day3–4 的定義推導，抽樣誤差公式依獨立同分布的 ±1 結果計算。完整書目見 REFERENCES.md。

Day 06 會整理 CUDA-Q、CUDA、cuQuantum 的分工，說明如何確認程式實際使用的環境與執行後端，再進入後續可訓練電路的實作。

延伸研究

[N1] Shreeya Sanjeev Gokhale et al. “A review of quantum machine learning algorithms, applications, and emerging advantages.” Discover Computing 29, 226 (2026)；綜述論文。原始來源；完整書目。

Tip : 本章目標在於建立可重跑的實驗流程；延伸閱讀時，可將研究中的資料處理、電路執行與結果分析分開記錄，建立完整成本觀念。