Day 9 的權重還是人指定的。今天補上訓練真正缺的兩步：怎麼衡量「預測差多少」，以及要不要接受下一組權重。

想像調收音機：每次微微轉一個旋鈕，聽雜訊有沒有變小；變小就留下，沒變好就轉回去，再試下一個旋鈕。量子電路負責依目前旋鈕算出預測；一般 Python 程式負責算誤差、決定要不要接受新旋鈕。兩者分工，才組成一輪訓練。

本章沿用 Day 9 的兩位元、四個 RY 權重與 ZZ 讀出，不改 模型程式。資料是可手算答案的小型回歸題，方便檢查流程有沒有跑通。完整程式：train.py。

Day10 adds a loss function and a coordinate-search optimizer around Day9's parameterized circuit. Exact simulator expectations drive training on a small synthetic regression task; holdout checks and a final finite-shot readout are recorded separately. Lower training error verifies the hybrid loop, not practical generalization or quantum advantage.

1. 一輪訓練在做什麼？

flowchart LR
    W[候選權重] --> Q[CUDA-Q：逐筆跑電路]
    Q --> P[observe：得到 ZZ 期望值]
    P --> L[CPU：算訓練集 MSE]
    L --> O[CPU：座標搜尋決定是否更新]
    O --> W

讀圖：量子模擬器算「這組權重下，每筆輸入的預測」；CPU 把預測與答案比對成一個損失數字；最佳化器再決定下一個候選權重。

幾個會反覆出現的詞：

• 參數化量子電路（PQC）：含可調角度的電路；今天這些角度叫權重
• ZZ（Z0Z1）：兩個量測結果相同記 +1、不同記 −1，再取平均；這個平均叫期望值
• 執行後端（backend）：指定用哪個模擬器；本章的 CPU／GPU 後端都在一般電腦上模擬，沒有真實量子處理器

observe 的期望值可以成為一般程式裡目標函數的一部分。[D12] 本章自己寫座標搜尋，讓「何時接受更新」與「評估成本」都看得見，沒有呼叫 cudaq.optimizers。

2. 先出一道能核對答案的小題

回歸預測連續數值（例如溫度）；分類則判斷類別。特徵是輸入數字，標籤是正確答案。

本章固定兩個特徵，標籤由可直接計算的公式產生：

y = np.cos(np.pi * features[:, 1] + 0.6)

features[:, 1] 取出每筆的第二個特徵 x1（編號從 0 起）。np.cos 是餘弦；0.6 是固定角度位移。

訓練資料是九個格子點：x0 ∈ {-0.6, 0, 0.6} 與 x1 ∈ {-0.5, 0, 0.5} 的組合。另留四筆保留資料（holdout），全程不參與更新：[-0.8,-0.3]、[-0.2,0.7]、[0.3,-0.7]、[0.8,0.2]。dataset() 寫死這些值，不從網路下載。

題目刻意讓標籤只依賴 x1。由 Day 9 的解析關係可知，weights=[0, 0.6, 0, 0] 就能表示這個目標；測試也會逐筆核對。這是用來檢查「訓練流程能不能把誤差壓下去」的合成題，不是真實資料集上的成效證明。

最佳化器拿不到這組已知答案。它從種子 42 或 43 的小角度隨機權重出發。初始化指定起點；隨機種子（seed）固定隨機序列，方便重做實驗。

3. 損失在一般程式裡算

主控端（host）安排電路執行與整理結果。損失函數把「差多少」收成一個數字；本章用平均平方誤差（MSE）：每筆預測減答案、平方，再對訓練集平均。例如某筆差 0.1，該筆平方誤差是 0.01。

L(w) = (1/N) Σ_i (f(x_i,w) − y_i)²
f(x,w) = ⟨Z0 Z1⟩

N 是訓練筆數；f 是固定權重下的電路輸出。程式核心：

def objective(weights):
    predictions = [predict(x, weights, 1) for x in train_features]
    return mse(predictions, train_labels)

目標函數（objective）是最佳化器用來比較候選設定的規則；本例就是整批訓練 MSE。前向計算只在固定權重下算預測，本身不改權重。

每次目標函數包含九次精算 observe：量子模擬器算預測，Python／NumPy 算損失。不要把 observe 當成最佳化器，也不要把這個實數輸出當成分類機率。

4. 座標搜尋：一次只轉一個旋鈕

座標搜尋把每個權重當成一個方向，每次只試改其中一個。它直接比較候選結果的損失，不需要梯度；梯度描述參數微微改變時，損失往哪邊、改多少。

每一輪依序處理 w0 到 w3。對目前第 j 個權重，試 w[j] − step 與 w[j] + step，選損失較小者；只有嚴格變好才接受。下一個座標沿用已接受的權重。

candidate = weights.copy()
candidate[j] += direction * step
candidate_loss = objective(candidate)
# 每個座標比較正、負兩個候選，再決定是否更新。

weights.copy() 避免試候選時改壞原資料；direction 為 +1 或 −1。步長（step） 是每次加減的量，單位是弧度（π 為半圈）。

規則：初始步長 0.4；若一整輪都沒更新，步長減半；步長小於 1e-4 或達到 40 輪就停。這是離散搜尋，不保證找到所有權重裡誤差最低的全域最佳解。停止原因寫成 max_sweeps，代表預算用完，不能直接解讀成「已經收斂」；收斂通常要事先定義更明確的穩定條件。

四個參數每輪要八次目標函數。跑完 S 輪後：

objective evaluations = 1 + 8S
training observe calls = 9 × (1 + 8S)

第一項是初始損失。最終核對、保留資料與抽樣另計，不計入 training_observe_calls。history.json 第 0 筆是起點；之後每筆是一輪結束後的權重、損失、該輪步長與累積評估次數。

5. 怎麼執行？

沿用既有 .venv；固定依賴見 requirements-day10.txt。

source .venv/bin/activate
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day10/train.py
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day10/train.py --seed 43
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day10/train.py --backend nvidia
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day10/train.py --backend nvidia --seed 43

預設寫入 results/day10/<backend>/seed<seed>/，重跑會更新該目錄。可用 --output-dir /tmp/day10-check 另存；--sweeps 3 可做短流程示範。OMP_NUM_THREADS=1 固定 CPU 執行緒數，方便控制小型電路的額外平行成本，不是 GPU 加速證據。

6. 結果檔怎麼讀？

• summary.json：環境、種子、初始／最終權重、停止原因、評估成本、訓練與保留 MSE
• history.json、training_curve.csv：每輪曲線與權重，可開試算表
• predictions.json：輸入、標籤、初始／最終預測、NumPy 參考，以及最終 1,000 次量測的計數

比較基準（baseline）提供「什麼都不學」的參考：對所有輸入都預測訓練標籤平均值，並同時看訓練集與保留集。保留資料不參與損失、步長選擇或停止條件。種子 42 與 43 的結果都保留，不挑好看的那個當代表。

四筆保留資料只是這個示範的額外核對，不能估計實務上的泛化能力（對未參與訓練的新資料表現如何）。最終預測與 Day 9 的 NumPy 矩陣比對，是在檢查前向計算是否算對，不是另一個學習模型的效能對照。

實際數字見 Day 10 結果。四次實驗（CPU／GPU × 兩顆種子）訓練 MSE 都下降；常數基準的訓練 MSE 約 0.36。種子 43 的最終誤差高於 42，說明起點與有限搜尋預算會影響結果。

7. 精算訓練 ≠ 抽樣式訓練

訓練使用 shots_count=-1：在無雜訊模擬器上由完整狀態算期望值，不做有限次抽樣。「精確」仍可能有浮點誤差（電腦用有限位數存小數）。

訓練結束後，另用 1,000 次量測讀一次結果，保存種子與各結果出現次數（counts）。這些抽樣沒有回傳給最佳化器。

因此紀錄裡損失不會變差，是因為實作只接受「確定變好」的候選。若改用有限次抽樣來比較候選，抽樣波動可能讓「看起來較好」的選擇不穩；本日沒有驗證那種訓練方式。CPU 與 GPU 數值精度不同，非常接近的候選排序也可能不同，故不要求兩邊最終權重逐位一致。

8. 測試與銜接

OMP_NUM_THREADS=1 python -m unittest discover -s articles/day10 -p 'test_*.py' -v
OMP_NUM_THREADS=1 DAY10_TARGET=nvidia python -m unittest discover -s articles/day10 -p 'test_*.py' -v

測試涵蓋：MSE 輸入檢查、已知二次函數上的搜尋行為、評估次數與停止原因、原始權重不被就地修改、標籤可表示性、資料分離，以及真正 CUDA-Q 更新後與 NumPy 的損失核對。

至此，Day 6–10 串起了：可執行環境 → 參數化電路 → 前向介面 → 依誤差更新權重的混合訓練迴圈。本日驗證的是合成可表示任務上的流程：量子前向與經典最佳化分開、評估成本與停止原因可查、holdout 與種子對照保留。它不是真實資料泛化報告，也不是量子優勢或分類準確率宣稱。

下一篇 Day 11 回到資料進入電路之前：原始數值如何縮放與編碼。正式分類任務依學習路線留待 Day 15。

9. 來源

[D12] NVIDIA Quantum Algorithmic Primitives：期望值與目標函數最佳化的角色。查閱日期：2026-09-06，實際執行 CUDA-Q 0.15.1。座標搜尋與合成回歸是教學實作；共用索引見 REFERENCES.md。

延伸研究

[N5] Brian Coyle et al. “Training-efficient density quantum machine learning.” npj Quantum Information 11, 172 (2025)；研究論文。原始來源；完整書目。

Tip : 這篇研究可延伸思考每次更新需要多少電路求值。