TL;DR

• 缺陷 A 的偏差不是隨機的：正確的目標金額正好是系統值的 (1+r) 倍，純用等比級數就推得出來
• 昨天那筆被藏起來的赤字也有閉式解：− r × 目標金額 × (1+r)^N，分毫不差
• 偏差乾淨到能寫成閉式解，幾乎就代表它不是誰打錯字，而是兩邊實作了不同的假設

前言

昨天說缺陷 A 是「兩條路的假設對不齊」，然後說偏差正好是一個 (1 + r) 倍。

今天把「正好」這兩個字證明出來。

兩種年金

「年金」在財務數學裡就是一連串固定金額的現金流，但它還是有兩種些微的差異，差別只發生在計算時是發生在每一期的期初還是期末：

• 期末年金：每一期結束時才付款。教科書的預設，公式最漂亮。
• 期初年金：每一期一開始就付款。

哪個比較符合退休生活？期初。 沒有人能等到退休第一年年底才吃第一頓飯，你是年初就開始花錢的。

而第 321-322 行的目標金額，用的是期末年金。

推導

設每年支出 E、實質報酬率 r、退休後年數 N。

期末年金的現值，是把每一年的支出各自折現回今天：

PV_期末 = E/(1+r)^1 + E/(1+r)^2 + ... + E/(1+r)^N

這是首項 E/(1+r)、公比 1/(1+r) 的等比級數，N 項求和：

PV_期末 = E × (1 − (1+r)^(−N)) / r

期初年金呢？第一筆錢在第 0 期期初就付掉，根本不用折現；第二筆折現一期；以此類推：

PV_期初 = E/(1+r)^0 + E/(1+r)^1 + ... + E/(1+r)^(N−1)

把這兩串排在一起看，會發現每一項都差一個折現期：

PV_期末 =        E/(1+r)^1 + E/(1+r)^2 + ... + E/(1+r)^N
PV_期初 = E/(1+r)^0 + E/(1+r)^1 + ... + E/(1+r)^(N−1)

第二串的每一項，都是第一串對應項乘上 (1+r)。所以整串也是：

PV_期初 = (1 + r) × PV_期末

推導就結束囉！不需要跑程式，不需要實測，這是恆等式。

系統用期末公式算目標金額，另一邊卻用期初的方式模擬資產消耗。所以：

正確的目標金額 = 系統算出的目標金額 × (1 + r)

刻意不把它寫成百分比。「低估了幾 %」這種說法會逼我們選一個分母——除以正確值和除以系統值，答案不一樣（r = 4% 時是 3.85% 和 4.00%）。倍數不用選分母，也不會被讀成兩種意思。而這也解釋了昨天那件事：r = 0 的時候，(1 + 0) = 1，兩個公式算出來一模一樣。我去年的邊界測試正好踩在這個點上。

但這支工具的現金流沒那麼乖

上面用了等比級數求和，而等比級數的前提是每期金額一樣。但這支工具完全不是那樣，它的年度支出會隨通膨成長。扣掉勞保、勞退之後才是淨支出；勞保還有起領年齡，所以現金流中途會跳一階；另外還可能有一筆 75 歲的大額醫療支出。

那 (1+r) 還成立嗎？

成立。而且理由比我原本想的更乾脆：等比級數求和公式在這裡根本用不到。

回頭看那兩串算式：

PV_期末 =        E₁/(1+r)^1 + E₂/(1+r)^2 + ... + E_N/(1+r)^N
PV_期初 = E₁/(1+r)^0 + E₂/(1+r)^1 + ... + E_N/(1+r)^(N−1)

把 E 改寫成 E₁, E₂, ... E_N，這樣每一年可以是完全不同的金額。

配對關係一點都沒變：第 k 項的期初值，就是第 k 項的期末值乘上 (1+r)。不管那一項的分子是 36 萬、是扣掉勞保後的餘額、還是一筆三百萬的醫療支出。整串往前挪一期，總和就乘 (1+r)。**跟現金流長什麼樣完全無關。**求和公式只是讓式子好看，不是證明的關鍵。

不過這種「應該成立」我不太信，所以跑了五種情境：

r = 4%，比值應為 1.04

情境                      期末              期初              比值
純年度支出           15,529,445.84     16,150,623.67    1.0400000000
+勞保(65起2.4萬/月)   8,075,311.83      8,398,324.31    1.0400000000
+勞保晚領(70起)       9,806,227.28     10,198,476.37    1.0400000000
+大筆支出(75歲300萬) 19,425,217.82     20,202,226.53    1.0400000000
全部一起             10,221,602.69     10,630,466.80    1.0400000000

以基準情境（42 歲、65 歲退休、85 歲壽命、月支出 3 萬、通膨 2%）換四組報酬率試算，結果都一樣：

   r          受測物(期末)           正確(期初)               比值
----------------------------------------------------------
   1%    12,611,433.14    12,737,547.47     1.0100000000
   4%     9,317,667.50     9,690,374.20     1.0400000000
   7%     7,133,775.12     7,633,139.38     1.0700000000
  10%     5,639,269.86     6,203,196.84     1.1000000000

一件必須講清楚的事：這不是差分測試。 這是同一支 Python 影子模型的兩種模式互比，證明的是「我的推導和我的實作一致」。至於「我的實作和線上那支 JavaScript 一致嗎」，這我們之後實作才會知道結果。

而「受測物確實在用期末公式」這個判斷，依據不是這張表，是昨天貼出來的第 321 行程式碼。表格驗的是數學，程式碼驗的是事實，兩件事不要混。

那筆赤字也有閉式解

昨天說，使用者剛好存到目標金額的話，85 歲會是 −816,646。

那個數字也有閉式解：

最終餘額 = − r × 目標金額 × (1 + r)^N

補充說明：「閉式解（Closed-form solution）」是指可以用一個簡潔的數學公式直接算出答案，完全不需要跑迴圈、也不會有任何雜訊。

跑三組對一下，結果分毫不差：

   r           實跑最終餘額              閉式解          差
----------------------------------------------------
   3%      -556,160.52      -556,160.52      -0.00
   4%      -816,646.28      -816,646.28      -0.00
   5%    -1,126,565.83    -1,126,565.83      -0.00

這就代表：那筆赤字不是某個倒楣使用者的遭遇，是任何一個照系統建議存錢的人都會遇到的、可以事先算出來的金額。報酬率設得愈高，赤字愈大——而報酬率高看起來明明是好事。

回到主線：當一個 bug 的偏差是乾淨的閉式解，它幾乎一定是假設問題，不是實作問題。 如果是打錯字、變數用錯、迴圈少跑一次，偏差會是雜亂的、跟參數無關的、或是只在某些輸入下出現的。而一個在所有參數下都精確等於 (1+r) 的偏差，只可能來自「兩邊各自嚴謹地實作了不同的東西」。

這也是為什麼它躲得過所有單點驗證——每一點都對，錯的是在整體。

順帶補一句昨天的對照組：文章版沒有這個問題，因為它沒有目標金額折現路徑，一路模擬到壽命終點就結束了。沒有第二條路，(1+r) 這個倍數就無處誕生。 這個缺陷的存在條件不是「算錯」，是「有兩條路」。

為什麼要把 A 和 A' 分開編號

昨天把 A 和 A' 放在一起講完了，但沒解釋為什麼要編兩個號。

缺陷 A 單獨存在的話，只是一個算少了的公式。使用者會存不夠，但如果他有別的方式檢查（例如自己拉個試算表、或問另一個工具），他有機會發現這缺陷。

那行 Math.max(0, ...) 做的事，是把發現的機會拿掉。

它不製造錯誤，它隱藏錯誤。而且它隱藏的方式特別有說服力：曲線平滑落地，比任何「你還缺 81 萬」的紅字都更讓人安心。所以我把它另外編號。一個「算錯」和一個「讓你看不見算錯」是兩種東西——前者是「精度問題」，後者是「可觀測性問題」。

而可觀測性問題在測試上特別麻煩：你的測試如果也是從圖表資料取值，它會拿到那個被夾過的 0，然後告訴你一切正常。遮羞布會同時騙過使用者和測試。這也是為什麼要建影子模型，因為我需要一個不經過任何顯示層、不做任何美化的數字來源。

後記

我讓 AI 重改，它抓到那張表在繞圈，也去跑了真實數字。那一輪確實有進展，但它從頭到尾沒想過要測勞保、勞退、大筆支出，而那正是這個推導唯一會被質疑的地方。它檢查了它想得到的東西，檢查得很仔細，卻沒有看到重點。那不就是 Day 2 講的那個最根本的盲區嗎：「我測了我挑的那組數字，而且測得很認真」。

只帶走一件事
一個乾淨到可以寫成閉式解的偏差，幾乎一定不是誰打錯字，而是兩邊各自嚴謹地實作了不同的假設。

免責聲明：本文提及之退休試算工具與所有數字皆為假設性試算，不構成任何投資建議。該工具目前已知存在計算偏差，修正版製作中，結果僅供參考。