Day 11 用 θ = πx 把縮放後的特徵轉成角度，也看到 −1 與 +1 可能變成同一個物理態。今天固定同一份資料與同一把「只看訓練集」的縮放尺，改動三件事：角度怎麼映、繞哪一軸轉、從什麼初始態出發，看狀態與讀出會怎麼變。

用音量旋鈕打比方：把數字刻在旋鈕上，不保證兩個刻度真的對應兩種聽得見的差別。刻度範圍太寬，兩端可能繞回同一點；轉錯軸，或一開始就不在能聽見變化的位置，指針動了你也可能聽不出來。量測方式就像你用哪種耳朵去聽。

實作：angle_encoding.py；單筆示範：demo.py；完整實驗：experiment.py。本日沒有訓練權重。

Day12 keeps Day11's train-only scaler and varies angle mappings, rotation axes, and initial states for two-feature angle encoding. Fidelity tables and Bloch expectations separate encoding collisions from readout blind spots. NumPy and CUDA-Q checks verify the circuits without claiming classifier accuracy, encoding rankings, or QPU results.

1. 一個特徵，對應一個旋轉

角度編碼把資料當成量子閘的旋轉角度。單一量子位元的狀態可用布洛赫球想像成球面上的一點；RX、RY、RZ 分別繞 x、y、z 軸轉。

CUDA-Q 的慣例是 R_P(θ) = exp(−iθP/2)，角度用弧度。[D5] P 是 X／Y／Z；i 滿足 i² = −1；π 是半圈。最簡單的兩個特徵：

q0: |0⟩ ──RY(θ0)──
q1: |0⟩ ──RY(θ1)──

@cudaq.kernel
def feature_map(q: cudaq.qview, angles: list[float]):
    for i in range(2):
        ry(angles[i], q[i])

qview 操作已建立的位元；list[float] 是浮點數清單。這裡沒有連接兩個位元的閘，結果是乘積態：能拆成兩個獨立狀態。

|ψ(x)⟩ = [cos(θ0/2)|0⟩ + sin(θ0/2)|1⟩]
       ⊗ [cos(θ1/2)|0⟩ + sin(θ1/2)|1⟩]

⊗ 是張量積。兩個特徵、兩個旋轉，理想上可平行，邏輯深度為 1。若改成先 H 再 RZ，深度變 2。這是本例結構計數，不含硬體繞線或編譯合併後的成本，也不能推成所有資料載入方式的結論。

2. 縮放歸縮放，角度映射歸映射

縮放器仍只用訓練資料訂最小／最大值；保留資料越界依 Day 11 政策截斷並留旗標。縮放後的 x 落在 [-1, 1]，之後再選怎麼變成角度：

保真度（fidelity）衡量兩個狀態有多像：1 表示相同物理態，0 表示正交。它不是分類準確率。

端點比較只改第一個特徵：[-1, 0] 與 [1, 0]。預設示範改用 positive_half，是為了展示 Z 讀出隨 x 單調變化；Day 9–11 既有介面沒有改。這不是用分類成績挑出來的最佳設定。

scaler = fit_scaler(train)
scaled, clipped = transform(holdout, scaler)
angles = to_angles(scaled[0], mapping='positive_half')

to_angles 只接受已縮放的兩個特徵；拒絕無效數值、無限大、越界或形狀錯誤。不要把原始 [25, 150] 直接丟進去，也不要把已經是弧度的數再乘一次 π。低階的 validate 可接受範圍外的有限角度，以保留旋轉的週期性。

3. 範圍一改，誰跟誰比較像也會改

對本日這種 RY 乘積態，兩筆資料的保真度可寫成：

F(a,b) = |⟨ψ(a)|ψ(b)⟩|²
       = ∏_j cos²((θ_j(a)−θ_j(b))/2)

a、b 是兩筆資料；∏ 表示各特徵貢獻相乘。只改 x0 時：

兩種「半範圍」映射只差共同角度偏移，所以配對保真度相同，但讀出不同。RY 的 Z 期望值是 cos θ：centered_half 下正負 x 仍可能得到相同 Z；positive_half 在 x ∈ [−1, 1] 上嚴格遞減（x 越大，理論 Z 越小）。精算 Z 能區分本例單一縮放特徵，但有限次量測仍有估計誤差，不能當成無限精度還原。

任何角度策略都救不回 Day 11 截斷已經弄丟的差異。改映射，與修復原始資料損失，是兩件事。

4. RX、RY、RZ：不是換函式名稱而已

從 |0⟩ 出發，各軸讀出不同：

直覺：

• 直接對 |0⟩ 做 RZ，只轉出整體相位（所有振幅乘同一個長度為 1 的複數）——物理態沒變，角度怎麼改都一樣
• 先用 H 把 |0⟩ 變成 |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2，再 RZ，角度才進入相對相位（同一個狀態裡，不同振幅的方向差）
• 即使有相對相位，Z 基底機率仍可能看不出角度；需要 X／Y 等讀出才看得見

h_rz 的矩陣順序是 RZ(θ) @ H @ |0⟩，不要寫反。實驗對每個設定算 q0 的 X／Y／Z，並核對完整兩位元狀態，因此 q1 也在正確性檢查內。RX 的 Y 為負號，符合上述旋轉定義；測試用 Day 3 矩陣獨立核對。

5. CUDA-Q 實作怎麼切邊界

主控端檢查輸入並安排執行；量子核心程式描述電路。共用子函式 prepare(q, angles, axis) 把軸的字串編成整數：0=RY、1=RX、2=RZ、3=H→RZ。不支援的選項在主控端拒絕。

encoded 只準備狀態，給 get_state／observe 用；measured 共用 prepare，再加 mz(q0)、mz(q1)。狀態用 State.amplitude('00') 等標籤取出，順序明確為 |q0 q1⟩。

angles = to_angles([0.25, -0.4], 'positive_half')
_, axis_code = validate(angles, 'ry')
value = cudaq.observe(encoded, cudaq.spin.z(0),
                      angles, axis_code, shots_count=-1).expectation()

文件另有 cudaq.contrib.angular_encode；本日明寫閘順序，方便看清 H 與 RZ，沒有依賴該輔助函式。[D5]

6. 怎麼跑單筆與完整實驗

沿用 .venv；固定依賴見 requirements-day12.txt。

source .venv/bin/activate
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day12/demo.py
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day12/demo.py --features -0.25 0 --mapping centered_half --axis rx
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day12/demo.py --axis h_rz --backend nvidia

OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day12/experiment.py
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day12/experiment.py --backend nvidia

預設示範的縮放後特徵是 [0.25, -0.4]，positive_half 角度約 [1.963495, 0.942478]。RY 下 q0 預期約 X≈0.923880、Y=0、Z≈−0.382683。

每個後端實驗包含：

• Day 11 的 4 筆訓練＋4 筆保留 × 3 映射 × 4 旋轉軸 → 96 組設定
• 2 組資料配對 × 3 映射 → 6 組 RY 保真度比較
• 8 筆 positive_half／RY 各 1,000 次 Z 基底抽樣

結果：predictions.json、pairs.json、summary.json、angle_sweep.csv、預設 RY 的 circuit.txt。目錄為 results/day12/<backend>/；可用 --output-dir /tmp/day12-check 另存。

7. 驗證與限制

OMP_NUM_THREADS=1 python -m unittest discover -s articles/day12 -p 'test_*.py' -v
OMP_NUM_THREADS=1 DAY12_TARGET=nvidia python -m unittest discover -s articles/day12 -p 'test_*.py' -v

七個測試涵蓋：角度端點與錯誤輸入、Day 11 相容性、資料配對保真度、布洛赫符號、各軸複數態、RZ 與 H→RZ 差異，以及 positive_half 的 Z 單調性。完整數字見 結果紀錄。

這是無雜訊模擬器上的表示與正確性實驗：縮放範圍、角度映射、旋轉軸、初始態與讀出分開核對；保真度與期望值表用來區分編碼碰撞與量測盲點。換映射也救不回截斷損失。完整狀態與精算期望值 ≠ QPU 的直接輸出。沒有分類器、沒有訓練、沒有編碼效能排名，也沒有 GPU 加速宣稱。

下一篇 Day 13 改看振幅編碼的正規化與狀態準備。

8. 來源

[D5] NVIDIA CUDA-Q Python API：角度編碼與 Pauli 旋轉閘慣例。查閱日期 2026-09-06，實際 CUDA-Q 0.15.1。映射、布洛赫表與保真度公式由 Day 3 閘矩陣推導並測試；索引見 REFERENCES.md。

延伸研究

[N3] Seungcheol Oh et al. “Fourier Analysis Perspective on Quantum Neural Networks.” Communications Physics 9, 176 (2026)；觀點論文。原始來源；完整書目。

Tip: 本章比較角度映射；延伸閱讀可從輸出隨輸入變化的週期，理解縮放範圍與旋轉操作為何會影響哪些資料仍可區分。