Day 15 已經能把量子電路接到分類流程。今天先不要比誰準，先問更基本的問題：兩邊看起來都能「輸入 → 預測 → 算誤差 → 調參數」，但內部的數字各自代表什麼？

把兩台都接到同一個儀表板的機器想成：一面板顯示 0 到 1 的分數。一台用齒輪與角度驅動；另一台用加權求和與壓扁函數。儀表數字長得像，不代表引擎一樣，也不能用未調校的曲線形狀判斷誰比較適合上路。

在本系列，QNN（量子神經網路）特指前幾章那種「參數化量子電路給出可訓練輸出」的模型；它能接入機器學習流程，但不是把一般神經網路的神經元換成量子位元。文獻裡 QNN 也可能指別種架構；本文聚焦 Day 14–15 的可調電路分類器。

今天用相同二維輸入與單一數值輸出介面，比較一個四參數 PQC 與九參數 MLP。程式：models.py、demo.py、experiment.py。兩者都重新初始化，不載入 Day 15 權重，不做準確率排名。

Day16 compares an untrained four-parameter PQC and a nine-parameter MLP on shared scaled inputs. Tables and checks separate linear gate action on states from nonlinear input-to-output maps, rotation periodicity from MLP weights, and ZZ-based scores from sigmoid scores—without ranking models or claiming quantum advantage.

1. 相似的是「訓練接線」，不是「內部零件」

輸入特徵 → 模型與權重 → 預測 → 計算誤差 → 最佳化器更新權重

特徵描述樣本；損失衡量差多少；最佳化器依誤差選新參數；前向計算固定參數從輸入算到輸出。

兩邊都能給最佳化器一個損失數字，但內部計算、參數意義與成本不同。NVIDIA 的 Hybrid QNN 教學示範過「一般層＋量子期望值」的組合。[D15] 本日不安裝 PyTorch，也不移植該版教學的梯度程式。

GPU 後端只影響 QNN 模擬；MLP 兩次實驗都在 CPU NumPy。本日不做速度比較。

2. MLP 的九個參數從哪來？

全連接層：上一層每個輸出連到下一層每個單位，每條連線一個權重；偏差（bias）再加一個常數。2→2→1＝兩個輸入、兩個隱藏單位、一個輸出。

活化函數把加權和換成另一個數，讓模型能彎折：tanh 壓到 (−1,1)；sigmoid 壓到 (0,1)。

h = tanh(x W1 + b1)
z = h W2 + b2
p1 = sigmoid(z)

程式把九個數排成一條向量：前四個排成 W1，接著 b1、W2，最後 b2。

hidden = np.tanh(x @ w[:4].reshape(2, 2) + w[4:6])
logits = hidden @ w[6:8] + w[8]
p1 = 0.5 * (1 + np.tanh(logits / 2))

最後一行等價於 sigmoid，避免直接算巨大 exp。測試用「逐個隱藏單位手算」核對批次矩陣版，並檢查零權重輸出 0.5、只有輸出偏差時的解析結果。

這是刻意選的最小 MLP，不是為了跟 QNN「容量對等」而搜尋出來的架構。

3. QNN 的四個參數 ≠ 四個振幅

一層模板有四個 RY 角度；兩個位元的純態也剛好有四個複數振幅——但這兩個「四」不是一對一。

白話：權重決定「怎麼轉」；振幅是轉完之後狀態裡的係數。振幅還受正規化（機率總和為 1）與整體相位（全體同乘一個長度為 1 的複數，不影響預測）約束，不能當成四個獨立神經元來調。四個角度也不等於能任意指定四個複數振幅；本例從實數 RY 出發。

CNOT 改變兩位元關係，但不新增一個浮點權重。加層會加旋轉參數與電路成本，不能直接對應成「MLP 隱藏層變寬」。

4. 閘對狀態是線性的，模型對輸入卻可以彎

固定量子閘 U 對狀態向量是線性的：先組合再作用＝先作用再同係數組合。

U(av + bw) = aUv + bUw

實驗用 Day 3 的 RY 矩陣核對。測試向量不必已正規化；這是在查矩陣性質，不是說任意組合都是合法量子態。

但從 |0⟩ 做 RY(θ) 再讀 Z：

f(θ) = cos(θ)
f(π/4) − [f(0)+f(π/2)]/2 ≈ 0.207107

θ → f(θ) 不是線性。θ 若再依賴輸入 x，整條「輸入 → 編碼 → 電路 → 期望值」也可以對 x 彎折——不必在振幅上硬塞一個 tanh。

請分開三句話：

1. 固定 U 對狀態向量：線性
2. 期望值對純態振幅：二次形式 ψ† O ψ；對密度矩陣：Tr(ρ O) 線性
3. 特徵經角度編碼到期望值：可以是非線性函數

不要簡化成「量測＝ReLU」或「量子閘＝非線性神經元」。本例精算期望值就會出現上述彎折，不需要靠抽樣噪音才產生。

5. 參數「長什麼樣子」也不一樣

單一 RY 角度加 2π，該閘只差整體相位 → 本例預測不變；測試會逐個權重核對。MLP 的連接權重沒有同樣的 2π 週期。

輸入很大或很小時，tanh／sigmoid 會貼近上下限（飽和），某些參數改了輸出幾乎不動。QNN 也可能因狀態、閘或可觀測量而不敏感。本日只做固定點的有限步長掃描，不是梯度、可訓練性或貧瘠高原的證據。

實驗固定特徵 [0.25, -0.4]、種子 42，對每個參數加 −0.5／0／+0.5：QNN 12 組、MLP 27 組，共 39 組。兩邊參數單位不同，相同改動量不是公平容量比較。

6. 輸出都在 0～1，語意仍可能不同

Day 15 已展示某個已訓練 QNN 可完成小型 XOR。本日畫的是未訓練模型：固定 x1=0.25，x0 從 −1 到 1。曲線彎、平或貼近 0.5，不代表好壞。

兩種子都用 normal(0, 0.2) 初始化，但參數個數與意義不同；相同種子≠對等起點。圖上沒有標籤、損失或準確率，不能評估泛化。單筆示範（種子 42、[0.25,-0.4]）約為 QNN p1≈0.100、MLP p1≈0.502——只是起點不同，沒有勝負。

7. 怎麼跑？

沿用 .venv 與 Day 15 繪圖套件；固定依賴見 requirements-day16.txt。

source .venv/bin/activate
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day16/demo.py
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day16/demo.py --features -0.5 0.25 --backend nvidia

OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day16/experiment.py
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day16/experiment.py --backend nvidia
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day16/plot_results.py
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day16/plot_results.py --backend nvidia

每個後端：2 種子 × 21 個輸入 → 42 組 QNN／MLP 前向比較，加上上述 39 組參數反應。QNN 與 NumPy 參考核對；MLP 由單元測試核對矩陣實作。

輸出：results/day16/<backend>/predictions.json、parameter_response.json、summary.json、forward_comparison.png。可用 --output-dir /tmp/day16-check 另存。

8. 驗證與下一步

OMP_NUM_THREADS=1 python -m unittest discover -s articles/day16 -p 'test_*.py' -v
OMP_NUM_THREADS=1 DAY16_TARGET=nvidia python -m unittest discover -s articles/day16 -p 'test_*.py' -v

六個測試涵蓋：MLP 偏差／手算參考／輸入契約、初始化與不變性、QNN 週期與參數反應，以及「狀態線性／角度輸出非線性」的區分。數字見 實驗紀錄。

本日在同一訓練介面下，把 QNN／MLP 的參數語意、線性／非線性層次、週期性與輸出定義分開核對。未訓練曲線或參數個數不能用來判定「誰比較強」。沒有梯度訓練、QPU、速度評比或量子優勢驗證。

Day 17 談梯度怎麼取得；Day 18 才做較公平的經典／量子效能比較；Day 19 談混合模型。

9. 來源

[D15] NVIDIA Hybrid Quantum Neural Networks（CUDA-Q 0.8.0 教學）：一般層與量子期望值整合的歷史範例；不作本日 API／梯度正確性依據。查閱日期 2026-09-07，環境 CUDA-Q 0.15.1。

MLP 與線性代數公式均明示並測試；QNN 重用 Day 14。索引見 REFERENCES.md。

延伸研究

[N5] Brian Coyle et al. “Training-efficient density quantum machine learning.” npj Quantum Information 11, 172 (2025)；研究論文。原始來源；完整書目。

本章釐清傳統運算與量子量測在模型裡的角色；此研究提供另一種組合方式，可協助區分「模型怎麼接」與「梯度怎麼算」應分開說明。