Day 15 做完 Interactive Learning Lab 之後，我第一次覺得 Visual Learning Lab 不只是「解釋教材」。

像正弦波 v(t)=V_m cos(ωt+θ)，AI 不只會告訴我 V_m 是振幅、ω 是角頻率、θ 是相位，而是會直接替這份教材生成 slider、即時曲線和衍生數值。改變參數之後，圖形在本機重新計算，不需要一直呼叫 OpenAI API。

後來我又拿阻尼振動、拋體運動、Logistic Growth 去測，確認它不是只會做正弦波。

但 Day 15 做完之後，我馬上又開始嫌棄自己的功能。

因為有些東西雖然可以「拉參數看圖」，但它本質上其實是一個會隨時間變化的系統。

拋體不是一條拋物線而已。

它應該真的從地面飛出去、上升、到最高點，再掉回來。

阻尼振動也不是一張 x(t) 曲線而已。

它應該真的震，而且每一次震盪的幅度都比前一次小。

所以 Day 16 我決定把昨天的 Interactive Lab 再往前推一步。

這次的目標叫做：

Dynamic Simulation Studio。

從「改參數」變成「看系統真的動起來」

昨天的 Interactive Lab 大概是：

教材中的數學模型
↓
AI 產生安全的實驗規格
↓
Slider
↓
重新計算
↓
即時圖形

Day 16 則在這條線上再多一層：

Interactive Lab
↓
建立動態模擬
↓
AI 產生 declarative simulation spec
↓
本機產生所有時間 frame
↓
Play / Pause / Replay
↓
時間軸可以拖動

這裡我還是維持 Day 15 的原則：

AI 不可以產生一段 Python 然後直接執行。

它只能描述這個模擬應該有哪些物件、這些物件的位置怎麼由公式計算、時間範圍是多少，以及哪些數值值得顯示。

真正的數學運算還是走昨天做好的 restricted expression evaluator。

也就是說，AI 負責「描述模擬」，程式負責「安全地算出模擬」。

動畫不是每一幀都去問 AI

這次我最不想做出的東西，就是一個「看起來會動，但其實一直在燒 API」的動畫。

所以建立 Dynamic Simulation 時，可以有一次額外的 API request，讓模型根據目前教材和 Interactive Lab 產生 simulation specification。

但是一旦 spec 建好之後，Play、Pause、Replay、拖時間軸、改播放速度，以及每一幀的位置計算，全部都在本機完成。

目前大概是這樣：

這一點對我來說滿重要。

因為如果播放一段 120 frame 的動畫，就送 120 次 request，那這功能基本上不能用。

現在 AI 只負責「把規則建立起來」，後面時間怎麼跑，是程式自己的事情。

第一個測試：讓正弦波真的沿時間前進

第一個還是先拿最熟悉的 Sinusoids 測。

這次建立的動態模擬會沿著時間軸計算目前的 v(t)，畫面上可以看到目前位置、已經走過的軌跡，以及完整路徑。

上面還會同步顯示像目前電壓、目前相位角、週期 T=2π/ω 這些 frame-specific metrics。

比較有感的是時間軸。

以前我如果想知道「現在走到哪個 phase」，其實只能自己看公式。

現在直接拖 timeline，就可以跳到某個時間點，看當下波形的位置。

播放之後，也不是 Streamlit 每一幀重新 rerun 整個 app，而是把 frame data 先準備好，再交給 Plotly 在瀏覽器端播放。

這樣至少不會發生：

播一下 → 整頁閃一下 → 再播一下 → 整頁再閃一下

這種很可怕的動畫。

阻尼振動這次真的開始有「時間感」

接著我拿昨天已經測成功的阻尼振動：

x(t)=Ae^{-bt}cos(ωt+φ)

這一題其實是我 Day 16 最想看的。

因為 Day 15 已經可以畫出它的曲線，但「振幅逐漸衰減」這件事，本來就很適合用時間看。

這次畫面上會看到現在的位置沿著 x(t) 前進，而上下兩條 envelope 也會一起顯示出 Ae^{-bt} 的衰減範圍。

所以一眼就可以看出：

一開始振幅很大，之後逐漸縮小，最後靠近 0。

而且這個畫面還是跟 Day 15 的參數 state 接在一起。

例如把阻尼係數 b 拉大之後，不需要重新叫 AI 建一個模擬。

程式直接用同一份 simulation spec 和新的 b 值，把 frame 重新算一次。

我實際測試時，b 拉大之後振動真的會更快衰減；改 ω 則會改變震盪速度。

這就開始有一點「模擬器」的感覺了。

不是 AI 告訴我：

阻尼係數越大，振幅衰減越快。

而是我真的可以把它拉大，看它更快停下來。

拋體運動終於不是只有一條拋物線

接著是我覺得這次最適合 Demo 的拋體運動。

Day 15 已經可以根據：

y(x)=x tanθ - gx²/(2v₀² cos²θ)

自動做出 v₀、θ、g 三個 slider，再畫出一條 trajectory。

但那時候它還是一張圖。

Day 16 之後，模型可以把同一個物理關係轉成時間形式：

x(t)=v₀ cosθ · t

y(t)=v₀ sinθ · t - 1/2 gt²

然後真的讓一個點沿著軌跡移動。

畫面上可以同時看到完整的理論軌跡、目前已經走過的位置，以及移動中的 projectile。

上方還有目前水平位置、目前高度、理論飛行時間、理論最大高度。

這次我甚至把播放速度切到 2× 測試。

Play、Pause、Replay、時間軸都正常。

最重要的是，我再回去改 v₀ 或 θ，整條軌跡和動畫也會跟著重新計算，而且沒有再次出現 AI spinner。

這就證明參數修改真的留在本地。

我開始覺得「動畫」不應該只是裝飾

一開始想到 Day 16 時，其實很容易掉進一個坑：

我要做動畫，因為動畫很炫。

但真的做完幾個例子之後，我覺得比較合理的標準應該是：

這個概念如果動起來，會不會更容易理解？

阻尼振動會。

拋體運動會。

相位隨時間前進也會。

但不是每一個公式都需要硬做成動畫。

例如我後來又拿 Laplace Transform 的常數函數 F(s)=c/s 去跑。

系統可以做 Interactive Lab，讓我改變 c，觀察 F(s) 的形狀如何改變。

但這種內容如果硬要做成「一個點在 c/s 曲線上跑來跑去」，學習價值其實沒有比較高。

所以我反而希望未來系統更敢回答：

這個內容適合互動圖，但不需要動畫。

而不是看到 formula 就一定要放一個 Play 按鈕。

這也是我現在越來越在意的事情：

Visual Learning Lab 不應該追求「每份教材都生成最多功能」。

而是要選擇：

哪一種呈現方式最適合這份內容。

Day 15 的安全運算引擎這次直接被重用了

Day 16 有一個地方我滿慶幸昨天有先做好，就是 safe expression evaluator。

如果 Day 15 是直接用 eval() 執行 AI 回傳的數學式，今天要開始生成動態 scene，風險只會變得更大。

現在 simulation 裡面的物件只能使用有限的 primitive，例如 moving point、vector、line、trajectory 等，再搭配經過白名單驗證的 mathematical expression。

模型不能突然回傳：

open(...)

或 __import__(...)

然後期待程式去執行。

它能做的事情被限制在：

用已經宣告的參數和時間變數，計算這個物件現在應該在哪裡。

我覺得這個架構慢慢變得滿有意思。

現在 AI 其實不是在「寫程式」。

它更像是在寫一份很受限制的 learning scene description。

而 Visual Learning Lab 是負責解讀這份描述的 runtime。

Slider、動畫、學習流程開始用同一份 state

Day 16 另一個比較工程面的重點，是我不希望 Day 15 Interactive Lab 和 Day 16 Simulation 各自有一組完全獨立的參數。

假設 Interactive Lab 裡現在是：

A=1

b=0.25

ω=3.4

φ=-1.44

那打開阻尼振動動畫時，就應該用同一組數字。

不應該進到動畫後，又突然變回另一套 default。

所以兩邊現在盡量共用同一份 parameter state。

這個改動看起來不像新功能，但實際使用差很多。

因為「Interactive Lab」和「Dynamic Simulation」開始不像兩個工具，而比較像同一份模型的兩種觀察方式：

一個適合看整體曲線。

一個適合看時間如何推進。

這次真正讓我有感的是「公式裡的 t 開始有意義」

做到 Day 15 時，t 對系統來說其實只是 x 軸。

Day 16 做完之後，t 第一次真的變成「時間」。

現在可以按 Play。

可以 Pause。

可以把時間拉回去。

可以看某一刻的位置。

可以把播放速度改成 2×。

也可以觀察同一組參數在不同時間到底發生什麼。

所以如果要用一句話講 Day 15 和 Day 16 的差別，我會寫：

Day 15 讓我改變模型。

Day 16 讓我看著模型活起來。

Day 16：從互動圖走向真正的 simulation

現在 Visual Learning Lab 對數學教材的處理大概已經變成：

看到公式
↓
理解參數與關係
↓
產生 Interactive Lab
↓
安全地操作參數
↓
如果時間演化有學習價值
↓
產生 Dynamic Simulation
↓
本機播放、暫停、拖曳、重新計算

我滿喜歡這條線的一個原因是：

AI 最重要的工作其實停在前面。

它負責理解教材、判斷什麼值得呈現、建立安全的結構。

真正開始操作之後，使用者不用一直跟模型來回對話。

拉 slider 不需要問 AI。

播放動畫不需要問 AI。

時間往前走也不需要問 AI。

這些互動都只是數學模型自己在運作。

做到 Day 16，我覺得 Visual Learning Lab 已經越來越不像「把 GPT 包在 Streamlit 裡」。

它現在開始有自己的 runtime、自己的資料結構、自己的學習流程，也開始能把 AI 的理解轉換成真正可以操作的東西。

昨天我寫：

AI 開始替教材做工具。

今天可以再往前一句：

它開始替教材做模擬器。

GitHub Repo：
https://github.com/f24131128-lgtm/visual-learning-lab