Day 15 用不需要梯度的座標搜尋調權重；Day 16 比較了 QNN 與 MLP。今天補上另一條訓練路：怎麼算出「某個權重微微改變時，輸出與損失會怎麼動」，讓最佳化器能沿著這個方向更新。

想像調音：你想知道「某個旋鈕往右一點，雜訊變大還是變小」。一種做法是左右各轉一點，看差值（有限差分）；在特定條件下，量子電路還有一種更乾淨的公式——把旋鈕固定往左、往右各轉四分之一圈，再用兩次電路結果算出斜率（參數位移法）。算出電路斜率之後，還要再接上「分數 → 機率 → 損失」這幾段，才得到真正用來更新權重的梯度。

程式：gradients.py、experiment.py、demo.py。沿用 Day 14 的獨立 RY 權重；沒有用 PyTorch autograd，也沒有在真實量子處理器（QPU）上跑。

Day17 implements central finite differences, parameter-shift gradients for independent RY weights, matrix reference derivatives, and the chain rule into Brier loss. Short exact-simulator updates and finite-shot gradient samples are recorded without claiming QPU results, autograd parity, or quantum advantage.

1. 外層仍是鏈式法則；量子段要另外給導數

weights → PQC → f=⟨ZZ⟩ → p=(1−f)/2 → Brier loss

導數＝某個量對某個權重的變化率；梯度＝把各權重的導數排成一條向量。鏈式法則把相連步驟的變化率乘起來。

一般損失可用一般微積分；量子段需要提供 df/dw。參數位移法是取得電路期望值導數的一種方法，不等於整個機器學習計算圖的反向傳播（從最終誤差一路往回算）。

本日對每個參數逐一跑「位移後的電路」。沒有存每個閘的中間輸出再倒傳，也沒有用模擬器伴隨微分（利用可存取狀態、沿反向操作算導數）。這些做法的成本與前提不同，不能一句「都是 backprop」帶過。

2. 中央有限差分：步長是近似旋鈕

df/dw_j ≈ [f(w + h e_j) − f(w − h e_j)] / (2h)

只動第 j 個權重：左右各偏 h，用差值除以距離估斜率。h 太大，近似偏離真導數；h 太小，浮點相減與抽樣噪音會被 1/(2h) 放大。不是越小越好。

本日比較 h = 1e-1, 1e-3, 1e-5, 1e-7。CPU 用 fp64、GPU 模擬用 fp32。有限差分是診斷圖，不要求每個 h 都通過同一誤差門檻；故意保留小步長在 fp32 上可能失準的數字（結果紀錄裡 GPU 在 h=1e-7 誤差可到約 0.8）。

3. 參數位移法：條件對了，才是解析等式

對「只出現一次」的獨立 RY，RY(w)=exp(−iwY/2)：

df/dw_j = [f(w + π/2 e_j) − f(w − π/2 e_j)] / 2

重點：分母是 2，不是 π。這不是把有限差分的 h 隨便設成 π/2。公式依賴這類旋轉的生成元結構（此處頻譜為 ±1/2）；Schuld 等人推導了這類解析位移梯度。[P3]

等價寫法：

plus = weights.copy()
minus = weights.copy()
plus[j] += np.pi / 2
minus[j] -= np.pi / 2
gradient[j] = 0.5 * (predict(x, plus) - predict(x, minus))

Day 9／14 每個權重只控制一個 RY，符合本例；一層四個、兩層八個獨立權重。這不自動適用任意閘、不同生成元、縮放角度或共享權重。

4. 共享參數：直接套公式會錯

若同一 θ 出現在連續兩個 RY：RY(θ)RY(θ)=RY(2θ)，讀 Z 得 f(θ)=cos(2θ)：

真實導數 = −2 sin(2θ)
把共享 θ 同時 ±π/2：差值為 0  ← 錯

必須把各出現位置的導數加總，或改用符合該頻率／生成元的規則。若實際角度是 a*w+b，還要再乘一般鏈式法則的 a。測試保存這個反例，避免把兩點公式當萬能黑盒。

5. 接到 Brier 損失：電路導數還要再乘一層

Brier＝預測機率與 0／1 標籤的平均平方誤差。p=(1−f)/2、L=mean((p−y)²)，因此：

dL/dw = −mean[(p−y) df/dw]

values = np.array([predict(x, weights, config) for x in features])
p = (1 - values) / 2
jacobian = np.array([parameter_shift(x, weights, config) for x in features])
gradient = np.mean(-(p - labels)[:, None] * jacobian, axis=0)

jacobian 每列一筆資料、每欄一個權重。不能直接算 [L(w+π/2)−L(w−π/2)]/2 就說得到損失梯度：平方等一般處理會改變函數形狀。單量子位元 Brier 反例會驗證兩者不一致。

本日對未截斷的解析 p=(1−f)/2 求導；分類門檻不在這條損失路徑裡。若計算圖另加截斷或硬門檻，導數要另處理。

6. 不用位移法驗證自己

matrix_gradient 用 Day 3 矩陣，逐閘傳遞狀態與狀態對參數的導數，不走位移、也不走有限差分：

dRY(w)/dw = (−iY/2) RY(w)
df/dw_j = 2 Re[⟨∂ψ/∂w_j|ZZ|ψ⟩]

用來獨立檢查位移的符號、倍率與層數。損失梯度再與 NumPy 完整 Brier 的中央差分（h=1e-5）比對，核對外層鏈式法則。測試也涵蓋振幅編碼的兩層模板；主要掃描固定角度編碼。

參考結果：參數位移相對矩陣參考，CPU 最大誤差約 1e-15 量級；損失梯度誤差約 1e-11。

7. 梯度要多跑幾次電路？短更新檢查什麼？

每個權重要正、負兩次位移。P 個獨立權重、B 筆資料：

期望值雅可比：2PB 次位移前向
損失＋梯度：B(1+2P) 次前向（含算原始 p）

本日 B=2、P=4 → 每次損失＋梯度 18 次 observe。四次更新 w ← w − 0.4 × gradient，再在最終權重評估一次 → 五次梯度評估、90 次 observe（不含診斷掃描與抽樣）。

兩筆特徵 [[0.25,-0.4],[-0.6,0.2]]、標籤皆為 1。這是梯度更新整合檢查，不是重訓 Day 15 分類器；沒有 holdout、沒有準確率。固定學習率一般不保證每步損失都降；本次約從 0.48 降到 0.19，如實保存，不依測試集調步長。

8. 有限次量測：公式對，估計仍會晃

固定種子 42 權重、特徵 [0.25,-0.4] 的 w1 導數：每側 100／1,000 shots，各十對抽樣種子。每個估計是兩次 ZZ 差的一半。

解析位移成立 ≠ 有限抽樣剛好等於真值。若兩側抽樣獨立：

Var(ĝ) = [Var(f̂₊) + Var(f̂₋)] / 4

對 ±1 可觀測量、每側 S shots，變異數上界約 1/(2S)。十次重複是小型展示；結果紀錄中 100→1000 shots 的 RMSE 約從 0.047 降到 0.014，但不保證每次加 shots 都單調變好。本日沒有把「含噪的 p」乘「含噪的雅可比」宣稱成無偏損失梯度。

9. 怎麼跑與怎麼看圖

沿用 .venv；固定依賴見 requirements-day17.txt。

source .venv/bin/activate
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day17/demo.py
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day17/experiment.py
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day17/experiment.py --backend nvidia
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day17/plot_results.py
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day17/plot_results.py --backend nvidia

每個後端：L=1／2 × 三筆特徵 → 六組電路梯度；每組四種 h → 24 筆差分對照；另有五筆短更新與 20 筆有限 shots 梯度估計。

圖示各 h 在所有設定／參數上的最大誤差；虛線是參數位移法最大誤差。輸出在 results/day17/<backend>/；可用 --output-dir /tmp/day17-check 另存。細節見 結果紀錄。

10. 測試與下一步

OMP_NUM_THREADS=1 python -m unittest discover -s articles/day17 -p 'test_*.py' -v
OMP_NUM_THREADS=1 DAY17_TARGET=nvidia python -m unittest discover -s articles/day17 -p 'test_*.py' -v

五個測試涵蓋：差分與輸入檢查、角度／振幅位移、矩陣導數與 NumPy 差分、損失鏈式法則、損失直接位移反例、共享參數反例。

本日實作並獨立核對參數位移，用反例標出公式邊界，把電路導數接到損失，並分層記錄評估成本與有限 shots 波動。這是可核對的梯度路徑示範，不是完整分類器重訓報告。仍是無雜訊模擬器結果，沒有 QPU 或量子優勢宣稱。

下一篇 Day 18 做經典與量子模型在固定條件下的效能比較。

11. 來源

[P3] Maria Schuld, Ville Bergholm, Christian Gogolin, Josh Izaac, Nathan Killoran. “Evaluating analytic gradients on quantum hardware.” Physical Review A 99, 032331 (2019). 出版商／DOI，arXiv:1811.11184。預印本 2018；正式出版 2019。

2026-09-07 核對作者、題名、年份、DOI 與兩次位移電路主張；本日 RY 公式、鏈式法則與反例由獨立矩陣導數／解析式核對。索引：REFERENCES.md。

延伸研究

[N5] Brian Coyle et al. “Training-efficient density quantum machine learning.” npj Quantum Information 11, 172 (2025)；研究論文。原始來源；完整書目。

本章核對參數位移與鏈式法則；這篇研究可延伸比較特定結構下的梯度成本。位移公式仍須依各閘條件使用。