Day23 固定編碼、用狀態相似度建模型。今天回到需要更新電路權重的量子神經網路（QNN），問另一件事：梯度就算算對了，會不會還是小到難以估計或更新？

想像在一片幾乎完全平坦的高原上找下山路：指南針（梯度）幾乎總是指向「沒有方向」。這不是地圖畫錯，而是地形本身太平。Barren Plateau（貧瘠高原）研究關注的，正是在特定電路與初始化分布下，梯度集中在零附近、變異數還可能隨量子位元數指數縮小的現象。

Day17 確認梯度怎麼算；本章比較量子位元數、電路區塊數、目標涵蓋範圍與初始化，不執行分類器訓練。

程式：landscape.py、experiment.py、demo.py、plot_results.py、test_landscape.py。實測見 結果報告。沿用 .venv，使用既有套件。

Day24 diagnoses whether correctly computed QNN gradients can still be too small to use: one tracked RY parameter across qubit counts, block depths, local vs global Z costs, and two initializations. Matrix derivatives and parameter-shift cross-check 1,536 gradients; a product-state control shows exact exponential variance decay for the global cost. This ideal-simulator study does not claim mitigation success or QPU results.

1. 損失沒下降，不等於 Barren Plateau

Barren Plateau 文獻關注：在指定電路與初始化分布下，梯度集中於零附近，且梯度變異數可隨量子位元數呈指數下降。McClean 等人的結果與隨機電路及 2-design 性質有關，並非宣稱所有 QNN 都無法訓練。[P6]

單次梯度為 0，可能只是落在駐點（當下的一階變化率為零）；駐點不一定是最佳解。其他原因包括：參數控制的操作與量測量對易（交換順序結果不變）、參數不在目標的因果範圍、程式漏接參數，或微小差值估計造成數值誤差。損失停滯也可能來自最佳化器、預算、資料或損失設計。因此本日固定參數位置，在多個初始化上看分布，而不是挑一條平坦訓練曲線就下結論。

初始化分布描述訓練開始前權重如何隨機抽出；變異數衡量相對平均值的分散程度。指數下降例如每加一個量子位元就乘上 1/2，比每次減固定值更快接近零。

2-design 是一種隨機性條件：對涉及至多二階矩的統計量，平均表現與理想均勻隨機酉操作一致。不能只憑電路「看起來隨機」就認定成立。

2. 固定實驗設定

RY／RZ 分別繞 Y／Z 軸旋轉；CZ 是受控相位閘，只對兩位元皆為 1 的分量改正負號。區塊是固定順序的一組操作，重複 L 次。

Z 量測將 0 記 +1、1 記 −1。局部目標只取第 0 位元平均；全域目標先把各位元記分相乘再平均。⟨·⟩ 表示期望值。

四種 n × 三種 L × 兩種初始化 × 32 種子＝768 個電路初始化；每個算兩種目標的同一個梯度＝1,536 個梯度數值。沒有 Iris、準確率或訓練／測試切分——本章只診斷目標如何隨參數改變。

L 是區塊數，不是編譯後電路深度。每區塊有 2n 個單位元閘、n−1 個 CZ；狀態向量有 2^n 個複數振幅。GPU 記憶體在 n≤8 並非瓶頸，也不做加速結論。

兩個目標都在 [−1, 1]，避免把任意尺度差異當成梯度消失；但它們是不同任務。換成局部目標可能改變問題本身，不保證原本的解仍正確。[P7] 本章並非該論文局部 2-design 模板的完整重現。

3. 三條路徑核對梯度

NumPy 參考同時更新量子狀態與導數狀態（參數微幅改變時狀態如何變化）。G 是當前閘，θ 是所選參數，O 是量測量：

|ψ'> = G|ψ>
|dψ'> = G|dψ> + (dG/dθ)|ψ>  # 第二項只在 weights[0] 對應的 gate 加入
∂C/∂θ = 2 Re⟨dψ|O|ψ⟩
dRY/dθ = (-iY/2) RY

NumPy 以張量軸套用單位元閘，不建大型 2^n×2^n 矩陣。陣列排序把第 0 位元放在最高位；CUDA-Q 直接用 spin.z(0) 指定量測量，避免把後端內部位元順序當成相同陣列排序。

參數位移法把同一個角度加減 π/2，再由兩次目標值之差算導數：

g = [C(θ0+π/2) − C(θ0−π/2)] / 2

此規則適用於本日獨立 RY 參數。每個梯度兩次 observe，兩後端各 3,072 次；保存兩個位移後期望值，不只存相減結果。測試與示範另以中央有限差分（h=1e-5）核對。實測最大絕對誤差：CPU 約 1.9e-15、GPU 約 8.7e-07，皆通過。

4. 可解析對照：不用深電路也會有全域梯度縮小

乘積態表示每位元可各自描述、沒有糾纏。考慮 ⊗_j RY(θ_j)|0⟩，θ_j 獨立均勻於 [−π, π]：

C_local = cos θ0
C_global = ∏_j cos θ_j

g_local = −sin θ0
g_global = −sin θ0 × ∏_(j>0) cos θ_j

由 E[sin θ]=0、E[sin² θ]=E[cos² θ]=1/2，可直接推導：

E[g_local] = E[g_global] = 0
Var(g_local) = 1/2
Var(g_global) = (1/2)^n

這是對指定分布與目標的精確結論，不是用四個資料點擬合所得。一般電腦就能展示：全域目標的梯度變異數呈指數縮小。

主實驗單一區塊的 RZ 與 CZ 都對 Z 讀出對易，因此對兩種目標也有相同解析形式。CZ 可能改變糾纏，但此時不改變這些期望值——不要把單一區塊的下降歸因於「電路很深」。測試會直接核對單一區塊解析式。

對照的 32 樣本另用長度 n 的均勻向量；主實驗用長度 2nL、交錯 RY／RZ 的向量，故相同種子並非逐筆相同角度。分布上的理論比較仍成立。

5. 如何讀變異數圖

對固定（n、L、初始化、目標）的 32 個梯度，報告平均值、樣本變異數（ddof=1）、RMS、絕對值中位數，以及 |g|<0.01 的比例。0.01 只是描述性門檻，不是 Barren Plateau 判定標準。

ddof=1 表示離均差平方和除以 31。RMS（均方根）先平方再平均再開根，避免正負抵消。

本次均勻初始化下，全域目標的梯度變異數隨 n 下降（例如 L=1 時，n=2→8 的樣本變異數約從 0.23 降到 0.0036）；局部目標反應不同。小角度組沒有呈現相同下降趨勢，但不能據此宣稱「可擴展訓練已解決」。

每組僅 32 樣本、最多 8 位元；沒有估信賴區間或做規模擬合。曲線連線只幫助閱讀，不表示證明單調或指數關係。不同設定重用種子，曲線可能相關。固定索引 0 的參數不代表完整梯度向量，也不代表所有參數。

完整數值見 結果報告。

6. 小角度初始化不是萬用解

本章 small 是常態(0, 0.1)，不是由互為反向區塊構成的恆等初始化。即使所有旋轉為 0，CZ 仍是非恆等酉操作，只是對初始全零態沒有作用。

在全零權重，兩種目標皆為 1 且梯度＝0；測試明確驗證此駐點。若要最小化本日目標，這也不是想要的最小值。因此「把權重設小」可能避開某些隨機分布的集中，也可能落在駐點附近——不能只看變異數較小就說更容易訓練。

排查可依序核對：參數是否影響輸出、參數位移與參考是否一致、目標尺度與涵蓋範圍、跨初始化分布、n／L 依賴，最後再比較最佳化器與初始化的訓練結果。本日只完成前述梯度診斷。

7. 直接計算與重複量測的成本

本章從模擬狀態直接算期望值。若改成每個位移各執行 S 次獨立量測（每次結果 ±1），參數位移估計的變異數為：

Var(g_hat) = [(1−C_plus²)+(1−C_minus²)] / (4S) ≤ 1/(2S)

這是在 ±1 量測與兩組獨立 shots 假設下的推導，不是本日實測。典型抽樣誤差按 1/√S 縮小；梯度很小時，可能需要更多 shots 才能把訊號與波動分開。增加最佳化器迭代次數本身不會改善單次梯度估計解析度。

GPU fp32 與 CPU fp64 有浮點差異，驗證用絕對誤差容許值 1e-5；接近 0 的梯度不用相對誤差（除以近零會放大比例）。本日沒有噪聲引起的貧瘠高原實驗，不能把浮點誤差叫做量子噪聲。

8. 重跑與示範

沿用 requirements-day24.txt，不新增套件：

source .venv/bin/activate
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day24/experiment.py run
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day24/experiment.py verify
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day24/experiment.py verify --backend nvidia
OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day24/plot_results.py

OMP_NUM_THREADS=1 python articles/day24/demo.py --qubits 4 --depth 4 --initialization uniform
OMP_NUM_THREADS=1 python -m unittest discover -s articles/day24 -p 'test_*.py' -v
OMP_NUM_THREADS=1 DAY24_TARGET=nvidia python -m unittest discover -s articles/day24 -p 'test_*.py' -v

示範可加 --seed、--backend nvidia，比較導數狀態法、參數位移與有限差分。CPU 可獨立跑實驗、驗證、示範與測試；完整圖表需兩後端驗證摘要。

輸出在 results/day24/，重跑覆寫同名檔案。SHA-256 核對設定與樣本，避免引用舊後端摘要。已保存 GPU 紀錄結束時有 cudaErrorCudartUnloading，驗證與測試退出碼為 0；根因尚未定位。

9. 範圍、下一步與文獻

本章驗證了：三條路徑下單參數梯度一致、均勻初始化時全域目標變異數隨 n 縮小的現象、乘積態對照的精確 (1/2)^n 公式，以及小角度／全零駐點的行為。未宣稱此 CZ 電路滿足論文全部假設、未證明漸近指數律、未驗證改善策略的分類成效，也未做 QPU 或噪聲實驗。

Day25 進入第二個真實資料集 Wine，把表示、模型與成本的限制帶回分類任務。

• [P6] Jarrod R. McClean, Sergio Boixo, Vadim N. Smelyanskiy, Ryan Babbush, Hartmut Neven. “Barren plateaus in quantum neural network training landscapes.” Nature Communications 9, 4812 (2018). arXiv 與期刊資訊，DOI 10.1038/s41467-018-07090-4。
• [P7] M. Cerezo, Akira Sone, Tyler Volkoff, Lukasz Cincio, Patrick J. Coles. “Cost function dependent barren plateaus in shallow parametrized quantum circuits.” Nature Communications 12, 1791 (2021). arXiv v3，DOI 10.1038/s41467-021-21728-w。

REFERENCES.md

接續：Day25｜第二個真實資料集：Wine。

延伸研究

[N8] Martín Larocca et al. “Barren plateaus in variational quantum computing.” Nature Reviews Physics 7, 174–189 (2025)；綜述論文。原始來源；完整書目。

本章量測梯度隨設定改變的情形；這篇綜述可延伸辨認不同成因。單一小型實驗中的小梯度，仍不足以證明隨規模增長的貧瘠高原。