iT邦幫忙

第 11 屆 iT 邦幫忙鐵人賽

DAY 2
0
AI & Data

連接數學與現實世界的橋樑 -- 數學建模系列 第 2

Day 2 : 建模五步驟

現實環境中有很多問題都在尋求最佳解,農民會調整種植空間以求最大收穫量;醫生則會合理使用藥物使其副作用降到最低;投資者期望以最少的金額獲取最佳的報酬等。這些應用都可以透過數學模式:一個或多個可控的變項及實際的限制條件,通過對這些變項的控制,使目標變項達到最佳的結果。建立這個數學模式的流程可以透過五個步驟來達成,1)提出問題,2)選擇建模方法,3)推導模型的數學表達式,4)求解模型,5)回答問題,接下來就對這五步驟進行說明。

第一步,提出問題

  • 列出問題中涉及的變項,及該變項的單位。
  • 區分變項與常數
  • 條列出對變項所做的假設,包括等式和不等式
  • 檢查變項的單位確保假設是有意義的
  • 使用精確的數學術語給出問題的目標

第二步,選擇建模方法

  • 選擇一個初步的求解方法
  • 一般來說,這步驟要做得好需要具有對此問題的相關背景知識,及文獻查找與閱讀的能力

第三步,推導模型的數學表達式

  • 將第一步中得到的問題重新表達成第二步所選定之建模方法所要求的形式
  • 第一步中的變量名稱需與模型中所使用的符號一致
  • 記下任何補充假設,這些假設是為了讓問題與模型的數學結構相呼應而產生的

第四步,求解模型

  • 將第二步的求解方法應用在第三步的數學表達式
  • 確認推導過程的正確性,以及答案是否合理
  • 將求解過程用程式實現,或使用既存的套裝軟體進行驗證

第五步,回答問題

  • 將第四步的結果,以淺白易懂的方式表述

實例

一頭豬重200磅,每天增加5磅,飼養成本每天45元。豬的價格為每磅65元,但每天會下降1元,求出售豬的最佳時間。
1.
變項:
t = 時間(天)
w = 豬的重量(磅)
p = 豬的價格(元)
C = 飼養t天的花費(元)
R = 售出豬的收益(元)
P = 淨收益(元)
假設:
w = 200+5t
p = 0.65-0.01t
C = 0.45t
R = p * w
P = R - C
t >= 0
目標:
求P的最大值
2.
此範例為單變量最佳化問題,可用一階必要條件、二階必要條件及二階充分條件求解。
3.
P = R - C
= p * w - 0.45*t
= (0.65 - 0.01t)(200 + 5t) - 0.45t .....(1)
4.
根據1式,令y = P,x = t,則目標函數為,
y = f(x) = (0.65 - 0.01x)(200 + 5x) - 0.45x
透過第二步的求解方法對目標函數進行求解
5.
8天後出售,可得133.2元


上一篇
Day 1 : 數學建模簡介
下一篇
Day 3 : 常用的數學工具
系列文
連接數學與現實世界的橋樑 -- 數學建模30

尚未有邦友留言

立即登入留言