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DAY 4
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自我挑戰組

開卷計劃:做一個高手夢系列 第 4

喚醒與生俱來的數學力 (2) 順序 & 因果

由於昨天晚上聽了明就仁波切的分享,今天原本想讀 In Love with the World,但讀了 15min 之後放棄,禪修系教科書似乎不適合進行筆記分享。

回到數學力這本書,今天讀了「順序概念」和「轉換」兩個章節,竟然是一堂邏輯課!Amazing!

筆記

順序概念

邏輯力是「能理解他人所表達的意見,並能用自己的想法說明他人的能力」,由於必須要理解和說明他人,需要「遵循邏輯的順序」。

當命題「若 p 則 q」為真,則 p 為充分條件,q 為必要條件。

  • 必要條件 - 大範圍 - 寬鬆的條件
  • 充分條件 - 小範圍 - 嚴格的條件

若是要「做選擇」,正確的順序是「由大到小」

  • 例如買午餐時,要先去價位適合的店(大範圍),再尋找想吃的東西(小範圍)
  • 利用必要條件篩選 → 確認是否符合充分條件

然而,若要試圖證明某事的正確性,正確的順序是「由小到大」,也就是 「假設 → 結論」

證明的對象=命題,必須是「能客觀判斷對錯的事物」

  • 討論「麥當勞漢堡放了六個月也不會長黴菌 → 添加很多防腐劑」的邏輯
  • 實驗之後發現的關係是「不會長黴菌」為必要條件(大範圍),而防腐劑是充分條件(小範圍)
  • 「小→大」總是為真;「大→小」則為假命題。
  • 推導出正確邏輯的訣竅:以充分條件為假設,以必要條件為結論。

回到數學:若 x 大於 a,則 x 小於等於 5,求整數 a 的最大值。

轉換

換句話說

  • 兩則陳述互為充要條件,因此可以「換句話說」,也就是「p 和 q 等價」
  • 「通過資料考試」和「同時滿足實務、筆試、面試三項條件」互為充要條件
    • 當多個必要條件重疊,形成充要條件時,對於追求特定目標(通過資料考試)的人來說,就能掌握明確的準備方向
    • 也就是,藉由等價變換,把希望化為行動

因果關係(函數)

  • 情境:
    • 根據眼前的「結果」追究事情發生的原因
    • 預測當下的行動將造成什麼樣的結果
  • 原因 - 結果會有 4 種情況
    • 原因-結果是一對一關係 → 能完全預料因果關係
    • 原因-結果是多對一關係 → 能安心採取行動(因為可預料結果)
    • 原因-結果是一對多關係 → 能確定過去的原因,但不知道要採取什麼行動
    • 原因-結果是多對多關係 → x 和 y 沒有因果關係
  • 函數才是真正的因果關係
    • 當 y (應變數) 取決於 x (自變數) 時,y 是 x 的函數
    • 結果是原因的函數
    • 檢查重點:
      • 「假設的原因」是否獨立於其他情況之外
      • 「原因」是否只對應到一種結果

心得

今天有種收看了精彩教學的感覺呢。

選定了今天的閱讀範圍以後,思考的目的有兩件事:

  • 是否能幫助自己和邏輯不好的人說明事情
  • 是否能用以鼓勵自認「數學不好」的文組生學習科技領域的知識?

第 1 點,雖然筆記沒有呈現,不過在讀過今天內容時,畫圖是絕對必要的,而且說明時必須一步步推導因果關係,不然絕對會出現邏輯跳躍、造成對方聽不懂的狀況,增加溝通的困難。

至於第 2 點,我覺得在「鼓勵」的目的下,文組生們恐懼的多半是「數學不好」,而「數學不好」多半有數學成績低落等事實,不能靠精神性鼓勵來破除,但我們可以考慮在演講活動由加入一些 exercise,把「數學」和「邏輯」分開,幫助大家建立「只要我按照正確順序思考,並且好好思考因果關係,就能攻略科技領域的基本知識」等自信(應該吧)。


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1 則留言

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TD
iT邦新手 4 級 ‧ 2021-09-20 23:25:55

但我們可以考慮在演講活動由加入一些 exercise,把「數學」和「邏輯」分開,幫助大家建立「只要我按照正確順序思考,並且好好思考因果關係,就能攻略科技領域的基本知識」等自信

很期待啊!

--
不過突然想到,小孩子最初是怎麼學習數學和邏輯的?

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Ellen Lee iT邦新手 5 級 ‧ 2021-09-24 01:12:01 檢舉

按作者的觀點,高中以前的所謂「數學」科目,內容比較是在教「計算」
而高中以後的數學則「不只是計算」,造成了許多人的數學成績大退步。

至於邏輯,高中數學中有一段「邏輯與集合」,但當年小時候在學的時候有點莫名,比較像學了一些「表達法」,很容易獲得表面的分數但其實沒有理解任何事。在 12 年課綱中有想要提升數學科目中的邏輯教學比例,但總之因為和應用題掛勾後學生解不出來也不一定是邏輯問題。大概就是「有想要教,但教不出去」的感覺。

反而是在社會領域,公民有教三段論,在和法律有關的內容附近,但考試重點也是在一些困難的法律素養。
國文則是在各種冗長的閱讀測驗題充斥著邏輯推論 - 和國文課本教的內容嚴重脫節。考試中心出的閱讀題很不錯,但真正在上課時教的是古文。

但整體來說,在解答社會科題目時,能用肉眼觀察到比較多「閱讀+邏輯」的實用。這也是作者對「閱讀能力強的文組生,不應該覺得自己學不會數學」的立論基礎。

但是在高中領域的成績優秀組,也容易出現戰鬥力超強的死記升學人。不一定是思考習慣好的人就能獲得好成績。

so 雖然在課綱設計上是重視邏輯思考的,但在教學/考試的實踐上,以及學生對「究竟是什麼帶給你成績」的實際感覺上,我覺得邏輯並沒有被當成一個需要鍛練的項目。

TD iT邦新手 4 級 ‧ 2021-09-24 09:16:21 檢舉

有點難仔細回想我當初是怎麼學習了,但我覺得作者的觀點違背我的經驗 XD

國文和社會科的邏輯推論看起來比較外顯,但實際上很多題目都還是有討論空間(根據題目語意、各種情境的差異等等),反倒是數學的邏輯推論非常嚴謹,所以如果單就「使用邏輯」這件事情的話,數學應該是相對容易。

另一方面,其實也是有很多學生數學很好但是其他科目完全學不好,作者的觀點就無法單純解釋這件事情了。

我知道作者想強調「閱讀能力強的文組生,不應該覺得自己學不會數學」,來鼓勵文組生嘗試接受數學。但如果跳出文組生、不同科目這些分類(依照作者的觀點,在其他科目也可以學習邏輯),我還是好奇究竟一個小孩子當初怎麼學習邏輯的

Ellen Lee iT邦新手 5 級 ‧ 2021-09-25 16:12:58 檢舉

哦哦我覺得昨天有點太強調「課程裡教什麼」
因為課程裡真正比較能「被教」的是「邏輯的表達法」
至於進到解題時,真的就有點⋯看每個人喜好⋯⋯通常需要應用「邏輯」以外的其他東西才能解開,so 很難說邏輯有「被訓練」

但如果講「一個小孩子當初怎麼學習邏輯的」
以下是我基於個人經驗的想像~

我自己的印象,小時候一開始只知道使用「因為⋯所以⋯然後⋯但是⋯⋯」這類的赤裸思考

但在遇到自己真正感興趣的問題時,會需要有比「因為⋯所以⋯」以外更好的邏輯表達法,此時在找答案的過程中,或多或少會觀摩到一些圖解、流程、分析、表格等表達方式,在 A-HA 的同時把這些表達方式順便記了下來,因而讓自己可以用「更好的表達法,把事情拆解得更仔細,分析更細緻的因果關係」

或是,在學習世界上的知識時,常會觸發一些「我知道什麼是 A,但 A 為什麼可以推論到 B 呢」
或者觀點的激盪中,會需要仔細解釋「我之所以這樣想的理由是 X,可以支持 X 的證據是 123」之類的。
和學科無關,在學習中應該常有這種需要使用邏輯思考的時刻。
這裡的「學習」是指「學習者真的想知道為什麼」的學習。

TD iT邦新手 4 級 ‧ 2021-09-25 22:03:29 檢舉

遇到自己真正感興趣的問題

看起來這比較像是重點所在 XD

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