第三篇直接把信心塞進票重，結果很刺激：信心方向正確時，準確率可以大幅上升；方向反過來，也能把多數決拖得很慘。

不過在判斷方向之前，還有一個比較不起眼的問題要處理。不同題目的信心分數，常常根本不在同一把尺上。

模型在簡單題可能回傳 0.99、0.98、0.97；碰到難題只剩 0.55、0.54、0.53。難題裡的 0.55 明明已經是最高信心，直接和前一題的 0.97 比，卻會被當成弱訊號。今天先把 γ 放在旁邊，只處理信心尺度。

我只保留同一題裡的順序

假設一題取樣四次，信心是：

[0.20, 0.70, 0.70, 0.90]

排序後，0.20 是第 1 名，0.90 是第 4 名。兩個 0.70 卡在第 2 與第 3 名，所以各自拿平均排名 2.5：

[1.0, 2.5, 2.5, 4.0]

這種處理叫 midrank。平手的軌跡拿到相同位置，不會因為原始陣列順序不同而改變票重。上一篇才處理過平手偏差，這裡當然不能又把它偷偷放回來。

從排名轉成常態分數

只有排名還不夠。取樣 4 次時，排名範圍是 1 到 4；取樣 40 次時則是 1 到 40。TACT 會再做一次 van der Waerden 轉換：

R 是題內平均排名，m 是這題的軌跡數，Φ⁻¹ 是標準常態分布的反累積分布函數。分母用 m+1，可以避開 0 和 1，否則最小與最大排名會被轉成負無限與正無限。

轉換後，我再用這一題實際算出的平均值與標準差做標準化：

為什麼特別強調「實際算出來」？沒有平手時，m=4 的原始常態分數標準差大約是 0.62，m=40 則接近 0.95。若直接套一個固定常數，γ 的實際強度會跟取樣預算一起飄。每題各自標準化後，φ 都以 0 為中心，標準差為 1。

Python 實作

程式和論文使用同一個定義。rankdata(..., method="average") 負責 midrank，norm.ppf 負責 Φ⁻¹。

import numpy as np
from scipy.stats import norm, rankdata

def vdw_scores(
    confidences: list[float] | np.ndarray,
    eps_sd: float = 1e-8,
) -> np.ndarray:
    c = np.asarray(confidences, dtype=float)

    if c.ndim != 1 or c.size == 0:
        raise ValueError("confidences must be a non-empty vector")
    if not np.all(np.isfinite(c)):
        raise ValueError("confidences must be finite")

    ranks = rankdata(c, method="average")
    normal_scores = norm.ppf(ranks / (c.size + 1))
    sd = float(np.std(normal_scores))

    if sd <= eps_sd:
        return np.zeros_like(normal_scores)

    return (normal_scores - normal_scores.mean()) / sd

拿剛才的三組輸入測試：

cases = [
    [0.1, 0.2, 0.3, 0.4],
    [0.2, 0.7, 0.7, 0.9],
    [0.7, 0.7, 0.7, 0.7],
]

for confidence in cases:
    print(np.round(vdw_scores(confidence), 3))

輸出是：

[-1.354 -0.408  0.408  1.354]
[-1.414 -0.000 -0.000  1.414]
[ 0.000  0.000  0.000  0.000]

第二列的兩個 0.70 得到完全相同的分數。第三列更重要：信心全部平手時，標準差是 0，程式直接回傳全零。TACT 的票重為：

φ 全為 0 時，每一票的權重都是 1。即使全域 γ 不等於 0，這一題仍會退回普通 Self-Consistency。

單調改變信心尺度，結果不會動

題內排名還有一個實用好處。只要轉換函數嚴格單調遞增，排名就不會變。原始信心、信心的三次方與信心的對數，最後會得到相同的 φ：

c = np.array([0.21, 0.48, 0.73, 0.91])

assert np.allclose(vdw_scores(c), vdw_scores(c ** 3))
assert np.allclose(vdw_scores(c), vdw_scores(np.log(c)))

這讓投票器不必相信模型回傳的絕對刻度。只要同一題裡的相對順序還在，後續計算就不受尺度拉伸影響。

有個例外很容易被忽略：先把信心四捨五入到小數點後一位，可能製造原本不存在的平手。四捨五入不是嚴格單調轉換，排名資訊真的會消失。我會保存模型回傳的原始值，只在顯示時取小數位數。

圖：TACT 的壓力測試。單調壓縮、過度自信與冪次變換改變信心刻度，題內排名仍保留順序；真正困難的是不同子群的方向不一致，以及錯誤答案群出現高信心回音。

排名也沒有把問題全部解掉

van der Waerden 分數在軌跡數很多時接近常態形狀；m=4 時就只有四個可能值。題內標準化修正了尺度，沒有憑空增加樣本，也不會告訴我們高信心究竟偏向正確還是錯誤。

下一篇才開始估方向。我會在有答案標籤的開發集裡，比較正確與錯誤軌跡的題內排名，從 AUC 接到 Somers' D。那個帶正負號的統計量，會決定 γ 應該朝正向、反向，或乾脆留在 0。

論文預印本：TACT: Trust-Anchored Confidence Tempering for Self-Consistency Voting in Large Language Models