案例 F05：手眼與輸送帶座標校正

• 觀看 F05 驗證影片
• 查看 F05 原始說明、指標與完整限制
• 影片觀看重點：觀察校正後的機械臂是否能在移動輸送帶上接近目標；不要把畫面上的接近，直接等同於真實抓取成功。

先講結論：本篇正式狀態是有限度通過。30 個 seed 的主要精度門檻通過，但時間步細化後的數值沒有單調收斂，因此不能宣稱「時間步越小，答案越接近真值」。

相機看到的位置，機械臂為什麼不能直接使用？

相機回報的物件位置通常在相機座標系裡，機械臂控制器卻在機器人基座或世界座標系裡工作。

要讓機械臂知道相機看到的點在哪裡，需要先求出相機與機械臂之間的外部轉換。這就是手眼校正。

如果物件還在輸送帶上移動，問題又多一層：從相機量測、資料傳輸、座標轉換到機械臂抵達，時間已經過去。即使空間座標轉換完全正確，沒有補償這段延遲，機械臂仍會抓在物件的後方。

本篇把整條誤差鏈拆成：

觀測雜訊 → 手眼外部參數誤差 → 輸送帶延遲位移 → TCP 取料位置誤差

多拍幾個姿態，不等於多得到幾份新資訊

常見建議是「校正不準就多拍幾張」。但如果每一張的姿態都很接近，新增資料其實只是在重複同一個方向。

可以把它想成估計一個箱子的形狀。如果我們永遠只從正面拍攝，即使拍 100 張，也不一定比從正面、側面與上方各拍幾張更有資訊。

本案例先做蒙地卡羅分析，比較增加數量與增加姿態分散度：

在這組模型中，增加姿態多樣性的改善，比單純把數量加倍更明顯。

這不是說數量不重要，而是順序應該改成：先確保姿態有足夠旋轉與方向差異，再增加樣本數。

有些姿態不是越大越好

手眼校正常寫成 AX = XB。本案例使用 Tsai–Lenz 方法求解，並在無雜訊資料上確認可以回到零誤差。

但相對旋轉接近 180° 時，求解使用的旋轉參數會變得病態；而旋轉太小，又缺乏足夠資訊。因此，本篇採用的資料篩選規則是：

• 相對旋轉介於 5° 與 150°。
• 至少保留 8 組可用姿態對。

加入這個規則後，先導分析中的最大平移誤差由 16.2 mm 降到 1.45 mm。

所以「姿態多樣」也不是叫機械臂任意轉到極限，而是要在求解器數值穩定的範圍內，提供足夠不同的觀測方向。

輸送帶延遲會直接變成空間誤差

本案例的輸送帶速度為 0.30 m/s，固定編碼器延遲為 8 ms。若完全不補償，物件在延遲期間會移動：

0.30 m/s × 0.008 s = 0.0024 m = 2.4 mm

2.4 mm 看起來不大，卻已接近本篇 3 mm 的取料誤差門檻。

這個計算提醒我們：校正誤差與時間誤差會在最後的取料位置相加。手眼外部參數很準，不代表移動目標就一定抓得準。

正式結果：主要指標通過，收斂檢查未通過

主要精度結果都在門檻內，但主指標隨時間步細化依序量到約 0.829、0.779、0.878 與 0.908 mm，並沒有單調靠近某一個值。全範圍差約 0.13 mm，約為 3 mm 門檻的 4%。

這個差異沒有推翻主要門檻結果，但已足以讓正式狀態降為有限度通過。造成非單調變化的機制尚未被分離驗證，因此本稿不把任何猜測寫成已知原因。

殘差很小，為什麼不代表真正校正很準？

校正殘差表示這組資料在所選模型內彼此是否一致；它不等於相機到機械臂的轉換已接近真值。

本案例中，幾個在線可取得的指標與真實取料誤差的相關性都很弱：

• 姿態數量：相關約 -0.242。
• 校正殘差：相關約 +0.121。
• 條件數：相關約 +0.108。

另一方面，在同一個 seed 內比較前 8 組姿態與全部姿態，取料誤差中位數由 0.764 mm 降到 0.444 mm，改善約 42%。

兩個結果並不衝突。跨 seed 比較時，姿態品質的差異會蓋過數量效果；在同一組資料內增加合格姿態，仍然有幫助。

對初學者來說，最重要的是：**殘差是診斷線索，不是真實精度的替代品。**如果有條件，仍要用外部基準點、獨立量測工具或留出的驗證姿態做交叉檢查。

一個座標慣例錯誤，可以安靜地偏掉 833.667 mm

先導過程曾把列向量與欄向量的轉換慣例弄反，造成 TCP 位置固定偏差 833.667 mm。

更危險的是，AX = XB 校正本身仍然內部一致，求解器不一定會報錯。只有把結果與外部已知真值比較時，這個巨大偏差才被發現。

這類錯誤是數位孿生專案最常見也最難察覺的問題之一：每個模組都能運作，但大家對矩陣方向、座標左右乘與單位的理解不同。

因此，座標轉換至少要附上三項測試：

1. 已知點經轉換後應落在哪裡。
2. 轉換與反轉換後是否回到原點。
3. 無雜訊合成資料能否回復已知外部參數。

這篇可以支持到哪裡？

可以支持的結論：在指定合成觀測雜訊、姿態範圍、固定輸送帶速度與延遲補償下，30 個 seed 的主要校正與 TCP 位置指標通過；姿態多樣性比單純增加數量帶來更明顯的蒙地卡羅改善。

不能支持的結論：

• 沒有相機影像、鏡頭畸變與特徵偵測，不能代表真實視覺校正流程。
• 沒有 DH 參數誤差、齒隙、結構撓曲與熱漂移，結果偏向理想下限。
• 沒有夾爪、接觸與抓取力，TCP 到達不等於取料成功。
• 輸送帶沒有打滑，速度與延遲都固定。
• 數值收斂未通過，不能宣稱更細時間步一定更準。
• 本結果不能作為真實產線精度或安全性的保證。

今天帶走三件事

1. 校正姿態的方向與分散度，往往比單純增加張數重要。
2. 輸送帶延遲要換算成毫米，和空間校正誤差一起看。
3. 校正殘差小只代表模型內一致，不等於外部真值正確。

Day 25 會把焦點從「位置準不準」移到「堆疊站不站得住」：教科書裡的質心判準，放進物理模擬後會有多可靠？