雖然實體資產可以根據多種標準進行比較，但金融資產的基本特徵可以簡化為風險和回報。

資產投資特點

回報

金融資產的報酬率以現金流量（例如股利、利息）和資本利得/損失的形式出現。許多流行的股票指數只衡量價格回報（資本利得），而忽略了股利對總回報的貢獻。

持有期報酬

「持有期回報 (HPR)」是一段時間（例如 1 天、5 年）的回報。 HPR 計算如下：

$$HPR=資本\收益+股息\收益率=\frac{P_t−P_{t−1}}{P_t−1}+\frac{D_t}{P_{t−1}}$$

其中 $P$ 是價格，$D$ 是股息。

算術平均報酬率

比較不同時期報酬率最簡單的方法是取簡單平均值。考慮一個初始價值為 100 美元的投資組合的例子，一年後跌至 95 美元，然後在第二年年底增加至 120 美元。持有期間的年報酬率為：

第一年：$\frac{95−100}{100}=−5\%$

第 2 年：$\frac{120−95}{95}=26.32\%$

算術平均報酬為：$\frac{−5\%+26.32\%}{2}=10.66\%$
這是假設每個時期投資相同金額的平均回報，類似於計算單利。

幾何平均回報

與算術平均報酬率不同，幾何平均報酬考慮了複利效應。幾何平均報酬率計算如下：

$$\bar{R}{Gi}=[(1+R{i1})(1+R_{i2})…(1+R_{iN})]^{\frac{1}{N }}−1$$

對於上述投資組合，幾何回報為： $\bar{R}_{Gi}=[(1−5\%)(1+26.32\%)]^\frac{1}{2 }− 1=9.54\%$

請注意，這小於投資組合的算術平均報酬率 (10.66\%)。 如果每個時期的回報相同，則幾何平均值將等於算術平均值，但如果存在任何回報變化，則幾何平均值會更低。換句話說，算術平均值測量具有向上偏差。

貨幣加權報酬或內部報酬率

與上面討論的回報衡量標準不同，「貨幣加權回報（MWR）」反映了投資者實際賺取的收入，因為它考慮了每個時期的投資金額。它是從所有投資者現金流中得出的「內部收益率（IRR）」。

MWR 對於比較目的的用處有限。同一共同基金的兩個投資者可能會獲得不同的貨幣加權回報，這取決於他們出資的金額和時間。 （基金經理的績效只能根據他或她的決定和行動來判斷，而不是根據他或她無法控制的事件來判斷。） 貨幣加權回報可能會因時間和地點的不同而產生偏差。和流出基金的現金流量，使其成為評估無法控制這些資金的經理績效的不適當指標。

時間加權報酬率

「時間加權回報 (TWR)」指標給出了初始 1 美元投資的複合成長率。它不受現金流量時間和金額的影響。它適用於評估不控制外部現金流的管理者，例如定期接收新捐款並支付以滿足贖回的共同基金。

計算TWR的步驟為：

1. 在任何重大捐款或提取之前立即確定投資組合價值。
2. 計算每個子期間的持有期報酬。
3. 一年中所有子週期的複合回報以獲得年度TWR。

如果測量週期長於一年，則「年化 TWR」計算為每年 TWR 的幾何平均值。這與計算多年期間的年度持有期回報的過程相同。

年化報酬率

許多回報都經過年化以進行比較。一般公式為：
$$r_{每年}=(1+r_{週期})^c−1$$

其中 $c$ 是一年中的周期數。

例如，要將週回報轉換為年回報，可以使用以下公式：$r_{annual}=(1+r_{weekly})^52−1$

投資組合回報

「投資組合報酬率」是單一投資的加權平均報酬。如果只有兩種資產，則投資組合回報為：

$$R_p=ω_1R_1+ω_2R_2=ω_1R_1+(1−ω_1)R_2$$

其中 $ω1$ 是資產 1 的權重，$ω2$ 是資產 2 的權重。

其他主要回報措施及其應用

特殊資產或稅務情況可能需要特定的回報措施。

「總回報」不包括與投資的管理和行政相關的費用。扣除交易費用。總回報對於比較費用影響之前的管理績效很有用。淨回報衡量投資者的收入，從而包括所有費用。

大多數退貨措施都是稅前的。對於投資者來說，資本利得和收入通常會徵收不同的稅。 「稅後回報」對投資人來說很重要，因此許多經理人選擇以此為重點的證券。

「名義回報」是無風險回報、通貨膨脹和風險溢價的函數。 「實際回報比較」很有用，因為通貨膨脹隨著時間和國家的不同而變化。

$$(1+r)=(1+r_{rf})(1+π)(1+RP)$$

$r$：名義回報
$r_{rf}$：無風險回報
$π$：通貨膨脹率
$RP$：風險溢酬

前面討論的報酬衡量標準均假設無槓桿。投資者可以透過衍生性商品和借款來創造槓桿部位。

歷史報酬與風險

本節將討論三種主要資產類別（股票、債券和國庫券）。

「歷史回報」是過去獲得的回報。 「預期回報」是對未來的預期。預期報酬通常為正，是實際無風險利率、預期通膨和預期風險溢酬的函數。

$$1+E(R)=(1+r_{rf})[1+E(π)][1+E(RP)]$$

實際回報可能不等於預期回報。在很長一段時間內，未來的預期報酬率應該等於歷史平均報酬。

幾十年來，所有資產類別的名目報酬率一直為正。股票回報波動最大。

一個世紀以來，三種資產類別的複合實際報酬率差異很大。在 118 年的時間裡，股票價值 1 美元增長至 1654 美元，債券增長至 10.20 美元，國庫券增長至 2.60 美元。 **大部分股權回報來自股息而不是資本利得。

美國（股票和債券）的歷史回報率高於世界其他地區的平均值。

毫不奇怪，股票歷來都是比債券和國庫券風險更高的投資。這項觀察結果與風險和回報之間權衡的想法是一致的。在股票資產類別中，小型股比大盤股產生的回報波動更大，但投資者能夠透過國際多元化來降低股票風險。

其他投資特徵

使用平均值和變異數方法假設回報呈常態分佈，且市場在資訊和操作上都是有效的。這些假設可能並不成立。

分佈特徵

「常態分佈」有三個特徵：平均數和中位數相等、完全由平均數和變異數定義、圍繞平均數對稱。大約 95% 的觀測值位於平均值兩側的兩個標準差之內 - 其中一半（約 47.5%）位於平均值之上，一半位於平均值之下。

• 大多數的報酬分佈不是常態分佈。它們通常是不對稱的（或傾斜的）。股票報酬通常是負偏斜。
• 分佈通常也比常態分佈變數有肥尾，這意味著極端報酬的可能性更大。這稱為“峰度”。

市場特徵

流動性缺乏限制了市場的運作效率。交易成本包括：

• 經紀佣金
• 買賣價差
• 價格影響

流動性影響後兩者。

低流動性將導致高「買賣價差」。它還可能對交易造成更大的價格影響。新興市場和公司債市場的流動性擔憂更為嚴重。

風險規避與投資組合選擇

風險規避的概念

風險厭惡與個人在不確定性下的行為有關。投資者可能是尋求風險的、風險中立的或厭惡風險的。風險追求者喜歡賭博的刺激，即使預期回報為負，也會冒險。風險中立的投資者只關心預期回報。大多數投資者都是規避風險的（即投資者會選擇風險最小的替代方案）。風險承受能力是投資者為獲得特定回報而願意承擔的風險程度。

效用理論與無差異曲線

「效用」衡量從特定投資組合中獲得的相對滿意度。假設所有投資者都規避風險並做出內部一致的排名，這是方便且合乎邏輯的。

效用函數的一個例子是：
$$U=E(r)−\frac{1}{2}Aσ^2$$

$A$ 是風險厭惡程度。對於規避風險的投資者來說，這將是積極的。更多規避風險的投資者將擁有更高的澳元價值。

效用函數的主要結論：

• 效用沒有最大值或最小值。
• 更高的報酬有助於更高的效用。
• 較高的變異數會降低效用。
• 效用僅在對投資選項進行排名時有用。

「無差異曲線」繪製具有相同效用的風險回報對。對於規避風險的投資者來說，斜率將為正。特定無差異曲線上的所有點都具有相同的效用。無差異曲線越高，效用越大。

對於厭惡風險的投資人來說，無差異曲線更加陡峭。對於風險尋求者來說斜率是負的，對於風險中立投資者來說斜率為零。

無差異曲線

效用理論在投資組合選擇的應用

將效用理論應用於兩種證券（無風險資產和風險資產）的投資組合很容易。無風險資產與風險資產沒有相關性。投資組合的預期報酬率和標準差可以計算如下：

$$E(R_p)=ω_1R_f+(1−ω_1)E(R_i)$$

$$σ_p=(1−ω_1)σ_i$$
在哪裡

$ω_1$ 是投資於無風險資產的金額。

無風險資產的報酬為$R_f$，風險為$0$。

風險資產的預期報酬為$E(R_i)$，風險為$σ_i$。

「資本配置線 (CAL)」（(CAL) 一條曲線，描述投資者將風險資產與無風險資產的最佳投資組合組合後可獲得的預期回報和回報標準差的組合）代表投資該兩種證券投資組合的選擇權。

可以編寫 CAL 方程式來顯示截距和斜率。

$$E(R_p)=R_f+\Big[\frac{E(R_i)−R_f}{σ_i}\Big]σ_p$$

其中 $\frac{E(R_i)−R_f}{σ_i}$ 表示斜率。

斜率代表風險每增加一次所需的額外回報，即風險的市場價格。斜率相當於夏普比率。

CAL 代表所有投資選擇。投資者一定是在線上的某個地方。

請注意，該線延伸至創投組合標準差 ($σ_i$) 的右側。 **這代表投資組合超過 100% 投資於風險資產，這是透過以無風險利率借錢來完成的。

無差異曲線可用於確定 CAL 上的「最佳投資點」。目標是效用最大化，這與達到最高的無差異曲線相同。此最適投資對應於無差異曲線與資本配置線之間的切點。

• 如果投資在 a 點或 b 點，投資者只能獲得較低的效用。
• 如果投資在 m 點，投資者可能會獲得適度的效用。
• 可用資產無法實現高效用，因為它完全高於 CAL。

最佳投資點

**效用在無差異曲線和 CAL 之間的切點（即 m 點）處最大化。

由於每位投資者的風險厭惡程度不同，最佳點會因投資者而異。更多規避風險的投資者將有一個更靠左的切點。

不同風險規避程度的無差異曲線

投資組合風險

兩種風險資產的投資組合

兩種風險資產的投資組合的報酬和風險可以定義如下。

$$R_p=ω_1R_1+(1−ω1)R_2$$

$$σ^2_p=ω^2_1σ^2_1+ω^2_2σ^2_2+2ω_1ω_2Cov(R_1,R_2)=ω^2_1σ^2_1+ω^2_2σ^2_2+2ω_1ω_2ρ_{12$$σ_1_σ12$$σ_1_σ12$$

相關係數 ($ρ_{12}$) 介於 +1 和 -1 之間。

當$ρ_{12}=1$時，兩種資產完全正相關。

當$ρ_{12}=−1$時，兩種資產完全負相關。

如果 $ρ_{12}=0$，則兩個資產不相關。

如果$ρ_{12}=1$，則投資組合標準差就是兩種風險資產的加權平均標準差。

$$σ_p=ω_1σ_1+ω_2σ_2$$

如果 $ρ_{12} < 1$，則投資組合標準差小於加權平均標準差。

當 $ρ_{12}=−1$ 時，可以建構零風險投資組合。

透過改變權重可以得到不同的風險收益組合。它說明了兩者之間相關性的重要性。

許多風險資產的投資組合

對於 $N$ 風險資產的投資組合，預期收益和變異數可以計算如下。

$$E(R_p)=\sum_{i=1}^N{ω_iE(R_i)}$$

$$σ^2_p=\sum_{i=1}^N{ω^2_iσ^2_i}+\sum_{i, j=1, i≠j}^N{ω_iω_jCov(i,j)}$$

考慮一個由 $N$ 個股票組成的投資組合，每隻股票的權重為 $ω_i=1/N$。投資組合變異數可以計算為：

$$σ^2_p=\frac{1}{N}\bar{σ}^2+\frac{N−1}{N}\bar{Cov}$$

隨著風險資產 $N$ 數量的增加，等式右邊的第一項減少。由於同等權重的投資組合中有更多的資產，每項資產對投資組合變異數的貢獻變得越來越可以忽略不計。因此，**投資組合變異數接近平均協方差。

$$σ^2_p→\bar{Cov}$$"

投資組合風險

多元化的力量

只有當兩種證券不完全相關時，多元化才有好處。如果相關係數為-1，則可以建構零風險投資組合。然而，大多數資產將具有正相關性。

歷史風險是未來風險的良好代表。相關性也很穩定，但國家間相關性一直在上升。從歷史上看，股票和債券之間的相關性一直很低，有時甚至是負相關。

多元化減少了短期內的波動。多元化的方式很多，包括：

1. 跨資產類別（例如大盤股、小型股、公司債、政府公債）
   2.使用指數型基金（更便宜、更有效的多元化手段）
2. 國家間（包括貨幣多樣化）
3. 不擁有雇主的股票（收入已經取決於雇主）
4. 評估投資組合中的每隻證券
   如果新資產的夏普比率大於投資組合的夏普比率乘以相關係數，則進行投資
   $$\frac{E(R_{new})−R_f}{σ_{new}}>\Big[\frac{E(R_p)−R_f}{σ_p}\Big]ρ_{new, p }$$
   6、風險資產購買保險（保險預期收益為負，但也呈負相關）”

高效前沿

投資機會

隨著更多資產的添加，組合的數量幾乎變得無限。曲線上及其右側的所有點都是可能性。
增加更多資產類別（如國際資產）將改善風險回報權衡，這意味著將曲線推向左上方。

最小變異數投資組合

「最小變異數邊界 (MVF)」它代表給定預期回報可以獲得的最小投資組合風險。全域最小方差投資組合是風險最小的投資組合，位於曲線的最左邊。位於「全域最小方差投資組合」上方和右側的曲線是「馬科維茨有效邊界」。

無風險資產和許多風險資產

透過使用資本配置線和馬科維茨有效邊界可以找到最優風險投資組合$P$。

無風險資產現在可以與有效邊界上的任何點結合，這些點都代表風險投資組合。由於目標是給定風險量的回報最大化，因此應選擇與 CAL 相切的風險投資組合。

無論風險厭惡程度如何，所有投資者都會在有效邊界上選擇相同的創投組合 $P$。他們也都擁有相同的無風險資產。這就是「兩基金分離定理」。根據風險厭惡程度，相對於風險資產的最優投資組合，投資者將或多或少持有無風險資產，這對所有投資者來說都是一樣的。例如，規避風險的投資者可能會為無風險資產賦予 80% 的權重，為風險資產的最優投資組合賦予 20% 的權重。如果可以以無風險利率借款，那麼風險厭惡程度較低的投資者的投資組合可能會配置 -20% 的無風險資產，120% 的配置到風險資產的最優投資組合。

最佳投資者投資組合

每位投資者的「最佳投資組合」$C$將位於與有效邊界相切的資本分配線上。就像以前一樣，最優投資組合將位於無差異曲線和 CAL 之間的切點。這受到投資者風險厭惡程度的影響。