債券估值的一般方法是使用一系列與未來現金流時間相對應的即期匯率。
對於傳統的固定利率債券，現金流量是一系列定期的票面支付和到期時的本金返還。
債券的價格是這些現金流量的現值，以市場折現率（或要求的收益率）折現).
這取決於現金流量的金額、現金流量的時間和折現率。
如果所有現金流量都以相同的利率折現，則現值是各個現金流量現值的總和.
$$PV=\frac{PMT}{(1+r)^1}+\frac{PMT}{(1+r)^2}+…+\frac{PMT + FV}{(1 +r)^N}=\sum{CF_t(1+r)^{−t}}$$
票面利率與市場收益率的關係決定了債券價格與其票面價值的關係。
下表對此進行了總結。
以折價或溢價交易的債券在接近到期時將被『拉至面額。
以兩種 3 年期年息債券為例：債券 A 支付 7%，債券 B 支付 3%假設折現率為5% ，債券A 的發行價格為每100 面值105.45 美元，一年後，其價格將降至103.72 美元。
變化，債券價格將遵循的路徑稱為恆定殖利率價格軌跡。
許多債券每年或每半年支付一次息票。
例如，如果 5% 年息債券每年支付一次 50 美元，則 5\% 半年息債券每 6 個月支付 25 美元。
計算半年息票的價格債券、貼現率、票息支付和複利期限必須進行調整。
債券的到期收益率（YTM）是使其預期未來現金流量的現值等於其當前價格的折現率。
它是投資者透過以下方式獲得的『內部收益率（IRR）』：今天購買了該債券並持有至到期日。
YTM 計算可以透過『反覆試驗』來完成，或簡單地使用金融計算器來完成。
債券價格和特徵之間的關係使我們能夠做出以下觀察：
但是，即使市場貼現率保持不變，債券價格也會隨著時間的推移而變化。
隨著時間的推移，債券持有人越來越接近到期時的票面價值。
固定收益價格軌跡說明了固定收益價格的變化隨著時間的推移，收益債券的軌跡顯示了以溢價或折價交易的債券價格的平價拉動」效應。
使用即期匯率進行估值允許每筆未來現金流量以與其時間相關的利率進行折現。
到目前為止，在本節中，我們以相同的利率折現所有未來現金流來計算債券價格。
這假設殖利率曲線是平坦的，即，所有期限的殖利率都相同。
在實踐中，殖利率曲線很少是平坦的，因此按相關即期匯率對每筆現金流量進行折現是適當的。
由此產生的價格被稱為『無套利價值』，因為任何偏離該價格的行為都會產生套利機會。
例如，如果債券的交易價格高於其無套利價格，投資者可以透過以下方式賺取無風險利潤：賣空併購買現貨曲線中使用的零息債券。
給定即期利率序列的債券價格計算公式：
$$PV=\frac{PMT}{(1+Z_1)^1}+\frac{PMT}{(1+Z_2)^2}+⋯+\frac{PMT+FV}{(1 +Z_N)^N}$$
$Z_1$ = 第 1 期的即期匯率，或零息票收益率，或零利率
$Z_2$ = 第 2 期的即期匯率，或零息票收益率，或零利率
$Z_N$ = 即期利率，或零息票收益率，或零利率，N 期
當債券在兩次票息支付之間出售時，下一次息票支付必須在買方和賣方之間分配。
賣方的部分稱為『應計利息』。
$$PV^{全}=PV^{平}+AI$$
交易商一般會報統一價格以避免混亂，但在結算日支付全價。
應計利息不取決於到期收益率，因此只有統一價格受市場利率影響。
應計利息為下一次優惠券支付的比例份額。
$$AI=\frac{t}{T}(PMT)$$
其中 $\frac{t}{T}$ 是自上次付款以來完成的優惠券期限的分數。
計算天數通常是根據實際/實際進行的。
公司債的另一種常見方法是 30/360 天計算慣例。
可以透過調整自上次票息支付以來的時間分數的現值來計算債券的全價。
$$PV^{Full}=\frac{PMT}{(1+r)^{1−t/T}}+\frac{PMT}{(1+r)^{2−t/T }}+⋯+\frac{PMT+FV}{(1+r)^{N−t/T}}$$
$$PV^{Full}=[\frac{PMT}{(1+r)^1}+\frac{PMT}{(1+r)^2}+⋯+\frac{PMT+ FV }{(1+r)^N}]×(1+r)^{t/T}$$
$$PV^{Full}=(PV)(1+r)^{\frac{t}{T}}$$
必須估計某些債券的價格，因為它們很少交易或尚未發行。
這可以透過使用類似債券的報價以及稱為矩陣定價的過程來完成。
在矩陣定價中，計算類似債券的到期收益率。
（線性）插值用於計算所需期限的收益率。
$$收益率\至\到期$$
可以完成類似的過程來估計『所需的收益率利差』（到期收益率減去基準利率，又稱為『基準利差』），它可以補償投資者的信用風險、流動性和稅務狀況。
收益率利差反映了信用利差的期限結構。
『信用利差的期限結構』是指無風險」（或基準）利率利差與到期時間之間的關係。
這些期限結構都涵蓋在內在以後的閱讀中會有更詳細的說明。
計算債券回報率的方法有很多。
大多數收益率指標都是年化和複利的，因為需要標準化的收益率指標來比較具有不同到期時間的債券：因此『年化收益率』和復合到期收益率。
待定：一年或更短期限內到期的工具的貨幣市場利率通常按年計算，但不進行複利。
一般來說，固定利率債券的年化收益率和複合收益率取決於一年中假定的周期數，這稱為年利率的'週期性'。
通常，週期性與息票支付的頻率相匹配。
對於年利率的每個表達式，複合總回報是相同的。
它們的不同之處在於每年的複利期數，即年利率的週期性。
對於給定的一對現金流量，規定的年利率和週期成反比。
例如，在這個零息債券範例中，每年複利兩次的利率為2.2565%，每年複利四次的利率為1.1220%，每年複利十二次的利率為0.3726%。
有效年利率為4.5640 %。
半年度債券基礎收益率，或半年度債券等值收益率
以美元計價的債券收益率最常見的周期是二，因為美元市場上的大多數債券每半年支付一次息票。
因此，半年期債券基礎收益率是每半年週期的收益率乘以二。
重要的是要記住半年債券基礎收益率」和每半年期收益率」具有不同的含義。
固定收益分析中使用的一個重要工具是將年收益率從一種週期轉換為另一種週期。
這些稱為週期或複利轉換。
以下公式可用於在'年百分比率(APR)'之間進行轉換每年 $m$ 個週期，每年 $n$ 個週期。
$$(1+\frac{APR_m}{m})^m=(1+\frac{APR_n}{n})^n$$
**
這些週期轉換的一般規則是以較低的年利率更頻繁地複利對應於以較高的年利率更少地複利。
此規則可用於檢查週期轉換計算。
**
這個方程式也適用於負債券收益率。
瑞士、德國、瑞典和日本等幾個國家的政府債券收益率一直為負。
在檢視債券殖利率時，必須仔細考慮現金流的時機。
1.所謂的『街頭公約』引用了忽略週末和假日的產量衡量標準。
2.真實收益率使用現金流實際產生的日期。
如果現金流因假日或週末延遲一兩天，則其將略低於街頭慣例收益率。
3.『政府等值收益率』使用 30/360 天計數來計算到期收益率。
公司債的政府等值收益率可用於獲得政府收益率的利差。
這樣做可以保持收益率以同一天數慣例表示。
4.'當前收益率'（'收入或運行收益率'）是一年內收到的息票支付的總和除以固定價格。
它忽略了息票支付的頻率和應計利息。
它也忽略了收益或以折價或溢價購買債券的損失
$$當前\收益率=\frac{年度\美元\優惠券\利息}{固定\價格}$$
5.『簡單收益率』透過在分子中包含攤餘收益或損失來調整當前收益率計算。
它是息票支付加上直線攤銷收益或損失份額的總和，除以（簡單收益率主要用於引用日本政府債券，稱為“JGB”。
$$簡單\收益率=\壓裂{年度\美元\優惠券\利息+攤銷\收益\或\損失}{固定\價格}$$
帶選擇權的債券殖利率
如果固定利率債券具有嵌入選擇權，則使用其他收益率衡量標準。
6. 一個例子是“第 n 次贖回收益率”，它計算假設債券以規定的贖回價格提前贖回的內部收益率。
（每個計算都基於等式 1，其中贖回價格（或面值）用於FV。
7. 最差收益率是計算的贖回收益率和到期收益率中的最低值。
『選擇權調整收益率』是解釋嵌入選擇權的更好方法。
它是與無選擇權債券和可贖回債券之間的價格差異一致的折現率。
###一位分析師觀察了兩種債券的報告統計數據：
分析師認為，債券 B 的風險比債券 A 稍大一些。
與債券 A 相比，債券 B 的買家因承擔此風險而獲得多少額外補償（以較高的到期收益率計算）
債券A的到期收益率為10.630%，是每半年複利的年利率。
債券B的到期收益率為10.696%，是每季複利的年利率。
收益率的差異不是6.6個基點(0.10696 – 0.10630 = 0.00066) 必須比較相同週期的報酬率才能做出相對價值的陳述。
對於兩個週期的 10.630% 轉換為對於四個週期的 10.492%:
$\displaystyle\frac{(1+0.10630)^2}{2}=\frac{(1+APR_4)^4}{4}$, $APR_4=0.10492$
四週期的 10.696% 轉換為二週期的 10.839%:
$\displaystyle\frac{(1+0.10696)^4}{4}=\frac{(1+APR_2)^2}{2}$, $APR_2=0.10839$
當殖利率以半年期公債為基礎時，債券B 較大風險的額外補償為20.9 個基點(0.10839 – 0.10630 = 0.00209)。
當兩者皆按年化時，額外補償為20.4 個基點(0.10696 – 0.10492 = 0.00204)季度複利。
浮動利率票據的市場價格風險較小，因為票息支付隨市場利率上下浮動。
浮動利率票據的本金通常是'非攤銷'，並在到期時全額贖回。
參考利率通常是短期貨幣期初的參考利率用於計算期末的票息支付，這是一種欠款」支付結構。
(期初確定參考利率，期末支付利息。
這種支付結構稱為拖欠」)
計算浮動利息的最常見的天數約定是actual/360和actual/365。
-『報價保證金』是相對於參考利率的利差。
它補償投資者發行人的信用風險。
如果報價保證金 (QM) 大於折現保證金 ( DM)b.
-『所需保證金』（或『貼現保證金』）是按面值進行 FRN 交易所需的參考利率的收益率差。
由於發行人信用評級的變化，它通常與報價保證金不同。
所需保證金如果信用品質下降，流動性或稅務狀況的變化也可能影響所需的保證金”，
浮動利率票據的現值可以使用以下簡化公式計算：
$$PV=\displaystyle\frac{\frac{(Index + QM)(FV)}{m}}{(1+\frac{(Index + DM)}{m})^1} +\displaystyle\frac{\frac{(Index + QM)(FV)}{m}}{(1+\frac{(Index + DM)}{m})^2}+…+\ \displaystyle\frac{\frac{(指數+ QM)(FV)}{m}+FV}{(1+\frac{(指數+ DM)}{m})^N}$$
$PV$ = 現值，或浮動利率票據的價格
$Index$ = 參考利率，以年百分比表示
$QM$ = 報價保證金，以年百分比表示
$FV$ = 到期時支付的未來價值，或債券的面額
$m$ = 浮動利率票據的週期，每年支付期間
$DM$ = 折扣保證金，所需保證金以年百分比表示
$N$ = 到期前均勻間隔的週期數
如果價格已知，則可以利用上述公式估算折扣幅度。
這個方程式類似於方程式 1，它是給定市場貼現率的固定利率債券的基本定價公式。
出於多種原因，這是一個簡化的 FRN 定價模型。
更複雜的 FRN 定價模型使用指數的預期未來利率作為分子，即期利率作為分母。
因此，DM 的計算取決於定價模型中的簡化假設。
對於固定利率債券，溢價或折價是由固定票面利率與所需到期收益率的差異產生的。
對於浮動利率債券，溢價或折價是由固定報價保證金與到期收益率的差異產生的。
然而，固定利率債券和浮動利率債券在基準利率變化方面有很大不同。
如果固定收益證券的期限少於一年，則被歸類為貨幣市場工具。
貨幣市場共同基金是此類證券的主要投資者。
這些共同基金只能投資於某些符合條件的貨幣市場證券。
它們包括
貨幣市場和債券市場之間存在關鍵區別。
重要的是要了解貼現率」在貨幣市場中具有獨特的含義。
一般來說，貼現率是指用於計算現值的利率」——例如，本文中使用的市場貼現率」然而，在貨幣市場中，貼現率是一種特定類型的報價利率。
通常，『商業票據』、『國庫券』和『銀行承兌匯票』以『貼現率 (DR)』為基礎報價。
這種方法低估了投資者的回報率，因為它是基於『到期價值 (FV)』而不是『投資金額 (PV)』。
以貼現率為基礎報價的貨幣市場工具的定價公式
$$PV=(FV)(1−\frac{day}{年}×DR)$$
$PV$\t=\t現值，或貨幣市場工具的價格
$FV$\t=\t到期時支付的未來價值，或貨幣市場工具的面額
$Days$\t=\t結算與到期之間的天數
$Year$\t=\t一年中的天數
$DR$\t=\t折現率，以年百分比表示
可以透過以下方式檢查貨幣市場折現率的獨特特徵：
$$DR=(\frac{年}{天})(\frac{FV−PV}{FV})$$
第一項 $\frac{Year}{Days}$ 是年率的週期性。
第二項揭示了貨幣市場折現率的奇怪特徵。
分子 $FV – PV$ 是國庫券在到期前 (n 天) 內賺取的利息。
但是，分母是 $FV$，而不是 $PV$。
理論上，利率是賺取的金額除以投資金額 ($PV$)，而不是除以到期時的總回報，其中包括收益 因此，根據設計，貨幣市場折現率低估了投資者的回報率，並且低估了發行人的借入資金成本（如下所示。
以附加利率為基礎報價的貨幣市場工具的定價公式
$$PV=\frac{FV}{(1+\frac{天}{年}×AOR)}$$
$PV$\t=\t貨幣市場工具的現值、本金額或價格
$FV$\t=\t未來價值，或到期時支付的贖回金額，包括利息
$Days$\t=\t結算與到期之間的天數
$Year$\t=\t一年中的天數
$AOR$\t=\tadd-on 利率，以年百分比表示
利息的計算方法是本金乘以一年的分數再乘以年附加利率。
將其加到本金中以確定贖回金額。
可以透過以下方式檢查附加費率的特徵：
$$AOR=(\frac{年}{日})(\frac{FV−PV}{PV})$$
此方程式顯示附加利率是貨幣市場投資的合理收益率衡量標準。
第一項 $Year/Days$ 是年利率的週期性。
第二項是賺取的利息 FV – PV ，除以PV，投資金額。
在比較貨幣市場證券時，使用一致的方法非常重要。
這通常使用『債券等值收益率』來完成，即 365 天的附加利率基礎。
（定義：使用年化收益率計算收益率）365 與到期天數的比率允許對不同複利期的證券進行重述和比較。
雖然這些貨幣市場工具可能是在折現率的基礎上發行和交易的，但它們通常以債券等價收益率報告。
對於分析師來說，了解它們是否已轉換為與長期政府相同的周期非常重要如果不是，觀察到的殖利率曲線可能會產生誤導，因為一年中的周期數不相同。
兩種債券的收益率不同的原因有很多，包括
殖利率因期限而異，即『利率期限結構』或『利率期限結構』。
它涉及收益率曲線的分析，收益率曲線是到期收益率和到期時間之間的關係。
有不同的殖利率曲線的類型，取決於基礎債券的特徵。
『即期曲線』（零或『條』曲線）是零息政府債券的收益率。
這些債券被認為是無風險的，因為不存在信用風險。
通常，即期曲線具有正斜率，這意味著期限較長的債券比較期限較短的債券獲得較高的殖利率。
然而，大多數交易活躍的政府債券和公司債券都會支付息票。
因此，期限結構的分析通常基於支付息票的政府債券的價格數據。
*
**最近發行的政府債券通常用於構建即期曲線，因為它們的流動性最相似，並且稅收影響較小。
**但這限制了可觀察的期限（完整期限的數據有限） ，所以插值是必要的，通常，這是透過直線插值來完成的。
平價曲線是從即期曲線獲得的。
在票息支付日，給定即期利率序列，可以使用以下等式計算平價利率」。
$$100=\frac{PMT}{(1+z_1)^1}+\frac{PMT}{(1+z_2)^2}+⋯+\frac{PMT+100}{(1+ z_N)^N}$$
這個方程式與方程式 2 非常相似，其中 $PV = FV = 100$。
問題是用代數方法求解 PMT。
然後，$\frac{PMT}{100}$ 等於每個週期的票面利率。
一個例子說明了給定即期曲線的面值曲線的計算。
假設政府債券的即期利率一年為 5.263%，兩年為 5.616%，三年為 6.359%，四年為 7.008%。
這些是一年期票面利率為5.263%。
貨幣市場證券通常以『現金基礎』（當天）結算。
其他債券在交易日期和結算日期之間可能有*延遲如 T+1 或 T+3）。
『遠期利率』是在遠期市場交易的債券的利率。
這種符號可能會令人困惑，但通常第一個數字是遠期期限的長度，第二個數字是基礎債券的期限。
例如， 3y5y」是未來三年的五年期報酬率。
隱含遠期利率可以根據即期利率計算。
短期債券的回報與長期債券的總回報掛鉤。
這使得隱含遠期利率成為損益平衡再投資利率。
可以使用以下公式來建立遠期曲線：
$$(1+z_A)^A×(1+IFR_{A, B−A})^{B−A}=(1+z_B)^B$$
$z_A$ 是時間 A\n 的零息即期報酬率
$z_B$ 是時間 B\n 的零息即期報酬率
$IFR_{A, B−A}$ 是證券在時間 A 開始、在時間 B 到期的隱含遠期利率
『遠期曲線』是一系列遠期利率，每個利率都有相同的時間範圍。
在向上傾斜的即期利率環境中，遠期利率將高於相同期限的即期利率。
因此，如果收益率曲線向上傾斜，遠期曲線必須位於即期曲線上方。
遠期利率也可用來計算固定收益證券的現值，因為即期利率只是遠期利率的幾何平均值。
$$(1+z_1)×(1+IFR_{1,1})×(1+IFR_{2,1})×…×(1+IFR_{n−1,1})=(1+z_n )^n$$"
收益率利差是衡量投資者預期承擔額外風險的基準證券（通常是政府債券）的額外收益率的指標。
在固定收益證券分析中，了解債券價格和到期收益率變化的原因非常重要。
為此，將‘到期收益率’分為兩個部分是有用的：
新發行的政府債券是交易最活躍的債券，其價格接近面值。
新發行的債券流動性較差。
『Libor』是浮動利率票據的常用基準，儘管它並非無風險。
老牌政府債券被稱為現成債券
現成債券的到期收益率通常略低於具有相同或相似時間的現成債券。
導致到期時間不同。
基準利差通常以基點來衡量。
『標準利率掉期』涉及將固定現金流量轉換為基於浮動指數的浮動現金流量，而『資產掉期』則將特定債券的定期固定息票轉換為 Libor 加或減利差。
如果債券定價接近面額，此轉換近似於倫敦銀行同業拆借利率指數的債券信用風險價格，
殖利率曲線顯示了具有相同風險狀況的證券的到期殖利率和到期時間之間的關係。
例如，掉期殖利率曲線顯示了固定Libor 掉期利率與其到期時間之間的關係。
每條殖利率曲線都代表基準利率的期限結構，無論是無風險」政府殖利率或有風險」固定掉期利率。
基準殖利率曲線通常向上傾斜，因為投資者要求溢價來持有長期證券。
利率的期限結構是動態的，短期利率受央行政策驅動，長期利率受長期利率影響。
成長和通膨預期。
在不同的到期時間上隔離信用風險會產生每個借款人都不同的信用利差期限結構：
$z_1, z_2, …, z_N$ 是基準即期利率 - 它們源自政府殖利率曲線（或利率掉期的固定利率）
$Z$ 是每個週期的 Z 分佈，並且對於所有時間週期都是相同的。
$N$ 是整數，因此計算是在應計利息為零的付息日計算。
實際上，Z 擴展通常是使用目標搜尋函數或類似的求解器函數在電子表格中計算的。
Z 利差也可用於計算『可贖回債券』的『選擇權調整利差 (OAS)』。
$$OAS=Zspread−Option\ 值 \（以 \ 基礎 \ 點為單位）$$
特別是，從 Z 價差中減去嵌入看漲期權的價值
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